Substitution. 
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Substitution. 
a die Function t unverändert bleiben muss, was immer stattfindet, wenn man 
n—s 5 
das Gewicht — berücksichtigt. 
Hiernach lassen sich Invarianten berechnen. 
Beispiele. Die Invariante vierter Ordnung der cubischen Form war: 
Aa 0 a s 2 + Ba 0 a l a 2 a s + Ca v 3 a 3 + Da 0 a 2 3 + Ea^a^ 
Die Zahlen - Coefficienten A, B, C . . . sind zu bestimmen, jedoch kann A = 
sein. — Die Gleichung: 
dt 
“-ST.+ 2 “' 
ü 
da. 
3 a. 
<K_ 
d(t. 
= 0 
1 
gibt: 
(ß + 6)a e ‘ 1 a 2 a 3 + (3 C+ 2ß) a 0 a l i a 3 +(2F + GD + SB) «o«,« 2 2 
-f-(4F-j-3 C) ßj 3 rt a = 0, 
also wenn man die Coefficienten gleich Null setzt: 
B = - 6, C = 4, D = 4, E = - 3. 
Die Invariante dritter Ordnung für die biquadratische Form ist, da das Ge 
wicht 6 wird: 
ß 0 (i 2 a 4 -f- Ba l i a l + Ca 0 a 3 2 + Da v a 3 a 3 -j- Ea 2 3 
und wie oben folgt: 
B=- 1, D = 2, E — — 1, C = — 1. 
Sei endlich die Discriminante von {a 0 a l a. 2 . . .) (xy) zu bilden, und zwar 
nach Potenzen von a 0 geoi'dnet. 
Nach einem Satze des Abschnitts 10) hat dieselbe die Form : 
a 0 U + a t 2 F, 
wo V die Discriminante von: 
(«i« 2 . . .) {xy) n 1 
ist, man kann also dafür setzen: 
a i 2 F + a o K + (lo*ß 4” • • • 
wo F, «, ß von a Q frei sind. 
Bildet man nun: 
d d . 
0) 
so ist der von a 0 unabhängige Theil: 
0 = a l « + 4« 1 a 2 F+ et l a ^2a 2 + 3« s -f- . . V, 
nun ist, da V selbst eine Discriminante: 
Aus dem Coefficienten von a v wird auf gleiche Weise ß bestimmt. 
Diese Betrachtungen führen Cayley auch zur Bestimmung der Anzahl der 
unabhängigen Invarianten einer binären Form. (Vergl. Cayley: Sccond metnoir 
upon Quantics. Philos. Transactions. Vol. 146.) 
Aber auch für eine Covariante gibt es gewisse Differenzial 
gleichungen. 
Setzen wir in derselben x + Xy für x, thun dies dann in der gegebenen Form 
und bilden die Covariante; das letztere ist, wie oben gezeigt, gleichbedeutend mit 
der Substitution; 
a l + Aa 0 für a t , ff a -f-2ß,A-f a 0 l 2 für a a u. s. w.