Substitution. 
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Substitution. 
Vorrücken sämmtlicher Indices gibt 
die übrigen Gruppen. 
Auch das Gewicht bleibt bei ternären 
u. s. w. Formen constant. 
Werden sämmliche Veränder 
liche einer Invariante mit Bino- 
mialcoefficienten geschrieben, 
so ist die Summe der numerischen 
Co effi ei enten gleich Null. 
In der That verschwindet eine solche, 
wenn die Buchstaben - Coefficienten gleich 
werden, wo dann die Form eine nte 
Potenz wird, also durch lineare Substi 
tution die Gestalt A 0 x n annimmt. 
Nun kann kein Glied der Invariante 
a P sein, weil sonst ein anderes den 
Coefficienten a g von y n der Form eben 
falls der Symmetrie wegen in der p ten 
Potenz enthalten müsste, diese Glieder 
aj’ und aj 1 aber ungleiches Gewicht 
hätten. Macht man nun, wie hier ge 
schehen , alle Coefficienten ausser A 0 
gleich Null, so verschwindet in der That 
die Invariante. 
Diese Regel kann bei der Berechnung 
von Invarianten als Probe dienen. 
13) Symbolische Berechnung 
von Invarianten undCovarianten. 
Reciprocitätsgesetz. 
Werden x lt y l und x 2 , y 2 bezüglich 
denselben Substitutionen unterworfen, so 
war nach Abschnitt 11): 
x iU i x iV i 
eine Invariante. 
Ausserdem, da denselben Substitutio 
nen auch die Symbole: 
d d d d 
dx i d yi ’ dx i ’ dy 2 
unterworfen werden können, sind die 
Potenzen von: 
d d <5 d 
°y 2 dx 2 d y1 
Symbole für Covarianten. 
Dies Symbol soll jetzt mit 12 be 
zeichnet werden. 
Sind demnach U, V irgend welche 
binäre Formen, so erhält man Covarian 
ten dieses Systems (bezüglich Invarian 
ten), indem man die Veränderlichen der 
einen U mit dem Index 1, die der an 
dern mit Index 2 versieht, und die Ope 
ration 
v n V« M V« 
— n d d o o 
12 = ^—- — n 
da:,” dx™ 1 dy l dy™~ dx a 
n (71-1) d™ d H 
1,2 öx l n ~‘ 2 dy l * dy™~ 2 dx 2 2 
an dem Product UV vollzieht. 
Nach dem Differenzüren sind die Index zu vernachlässigen. Man hat also ; 
d n U d n V b n U d n V 
fl ~f- • . 0 
dx n dy™ dx™ i dy dy n ^dx 
Auch kann man U und V identisch nehmen, und hat dann die Covarianten von U. 
So z. B. ist: 
d*U d 2 U id'Uy 
d x 2 d y* \dx dy) 
eine Covariante. 
Um die Covariante einer Form zu haben, bildet man die Cova 
rianten eines Systems und identificirt dessen Glieder. 
Dies soll immer bei dem Symbol 12” vorausgesetzt werden, wenn kein Buch 
stabe hinter demselben steht. 
Da die Indices nachher unterdrückt werden, ist die Wahl derselben von kei 
nem Einfluss. Nun ist offenbar: 
(12 + 21)17 = 0, 
12” = 0. 
also für ungrade n: