Substitution. 
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Substitution. 
Die Invarianten und Covarianten: 12 , 12* u. s. w. sind schon in Abschnitt 11) 
entwickelt. Ferner ist: 
— n ( . , , n (n 1) 
12 a, a % . . .) | O y) =a 0 a n -na t + -——a 3 a n _^- . . . 
Der letzte Coefficient ist durch zwei zu dividiren, wie leicht aus dem Bildungs 
gesetz sich ergibt. 
Diese Gesetze lassen sich auf eine beliebige Anzahl von Functionen ausdehnen. 
Seien dieselben U, V, W, so werden ihre Variablen mit den Indices 1, 2,3. .. 
versehen, und mit dem Producte die Operationen, welche durch ein Product von 
einer beliebigen Anzahl der Symbole aus der Reihe ; 
12” 1 23” a 3i w » il” 4 
gegeben sind, vollzogen, wenn immer 
— d 1) d d 
dx a dy ^ dx^ 
ist. Man hat dann eine Covariante des 
Systems. Auch kann man schliesslich 
von den Formen U, V, W beliebige iden 
tisch setzen, oder auch alle. 
Der Grad der abgeleiteten 
Function in den Coefficientn ist 
offenbar immer gleich der An 
zahl der verschiedenen Ziffern 
in dem Symbol der abgeleiteten 
F o rm. 
Denn sind alle Formen verschieden, 
so enthält die abgeleitete Form einen 
Coefficienten von jeder der Functionen 
U, V, W . . ., und dies ist bei ihrer 
Identität noch richtig. Der Grad ist 
also gleich der Zahl der Factoren U l , 
U 3 , U 3 . . ., welche mit den Ziffern in 
den Symbolen 12, 23 . . . übereinstimmt) 
(wo also z. B. in 23, 31 3 nur einmal 
gerechnet wird). 
Was nun den Grad der Covariante 
als Function von jrundz/ anbetrifft, so sei 
U x , U 2 U 3 . . . das Product der Formen. 
Sei (7, vom Grade n,, U 2 vom Grade 
n 2 ..., komme dann im Operationssymbol 
die Ziffer 1 «,mal, die Ziffer 2 « 2 mal 
vor u. s. w. (in der Potenz 12^ J 1 und 2 
p mal gerechnet) dann erleidet U s eine 
a g malige Differenziation, ihr Grad wird 
also um so viel erniedrigt, und die Co 
variante ist vom Grade: 
H l ~ C( l + n 2 ~ «2 + • • • 
Sind also alle U gleich vom Grade n 
und an Anzahl p, so ist der Grad der 
Covariante : 
wenn das Symbol aus r Factoren 12 . . . 
besteht. Für die Invariante muss sein, 
da die Zahlen <r,, « 2 . . . jede höch 
stens n betragen können: 
ct v — a 2 — . . . — n. 
Seien z. B. die Invarianten zu bestim 
men, welche die Coefficienten im fünften 
Grade enthalten. Da nur drei Ziffern 
Vorkommen, ist das Symbol: 
12" • 23^ - 3l r . 
Eins kommt hier z, B. «-(-)/mal vor, 
also ist, damit eine Invariante entstehe; 
« + ß — ß-{-y— n 
n 
«=ß = Y = -ä • 
Es darf also die gegebene Form keinen 
ungraden Grad haben. Ist sie vom 
Grade 2p, so ist das Symbol der In 
variante vom dritten Grade: 
(12 • 23 • 3l)P 
Setzen wir. 
<) d 
V = « , V — ß ) 
ox s nv s 
s a s 
so ist also zu bilden das Product: 
(«i ßx -**ßi) V 
' («2 ßi ~ n 3 ßi) P 
* («s ßi ~ßi «d 1 ’ 
Nach der Multiplication werden alle 
Indices weggelassen und für 
2 p — m tn 
ct 1 ß 
gesetzt: 
d 2 P u 
> 2p — m s tn 
ox r oy