Substitution, 
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Substitution. 
D 2 13 — D 3 12 für D t 23 
und 
D 2 14 - D 4 l2 für D t 24 
dann wird die Gleichung: 
2D 2 3 12 3 13 2 14 = l2 4 (D a 2 /> 4 13 2 + ö 3 2 /> 4 l2 2 + 20 2 2 ö 3 13 II 
-D 2 /> 3 2 12 14- 2D 2 ö 3 D 4 12 13. 
Die rechte Seite ist also mit 12 4 multiplicirt. 
Die Gleichung 2) gibt dann eine weitere Vereinfachung in: 
4 ZV D 2 12 3 l3 2 14 = 12 4 (6D a 2 D 4 2 13 2 ) — (D 3 2 Z) 4 2 12 2 - 22), 2 /> 2 2 34 2 ). 
Zu den obigen Gleichungen kommt noch eine andere ebenfalls leicht zu 
verificirende hinzu : 
3) 12 • 34 + 23 • 14-13-24=0. 
Durch die Gleichungen 1), 2), 3) kann man alle Symbole auf gewisse Normal 
formen bringen. Diese sind: 
Für 2 Factoren: H= 12 2 
Für 3 Factoren: G = 12 2 13 
Für 4 Factoren: J = 12 4 oder 2/ 2 = 12 2 34 2 
Für 5 Factoren: F = 12 4 13 oder GH = 12 2 13 45 2 
Für 6 Factoren: 2i = 12 6 oder L = 12 2 23 2 31 2 oder H 3 = 12 2 34 2 56 2 
u. s. w., offenbar ist H die Hesse’sche Determinante. 
Wie die Eeduction in jedem Falle anzustellen ist, werden folgende Beispiele 
zeigen. 
I. Es soll 12 • 13 14 umgewandelt werden. 
Wenn die Gleichung 2) mit 14 multiplicirt wird, so verschwindet das letzte 
Glied rechts und die beiden andern werden gleich, also ; 
D 2 D 3 12 • 13 • 14 = D 2 2 13 2 • 14, 
d, h. wie oben: 
(n - 1) 12 13 Ti — nGU. 
II. 12 13 14 stellt, wie leicht zu sehen, das Resultat der Substitution 
du ... m ... 
tur X, — .— mr y 
dxj dx J 
in eine binäre cubische Form dar, oder was dasselbe ist, das Resultat dieser Sub 
stitution in den Ausdruck 
irgend einer Form. 
Das Resultat einer gleichen Substitution in irgend eine Form ist: 
12 13 14 15 ... . 
Allgemein kann jedes Symbol auf eine geschlossene Form reducirt werden, 
wenn man für jedes Paar einfacher Factoren 12 13 mit einer gemeinschaftlichen 
Ziffer, den Werth aus Gleichung 2) einsetzt, dann wird «lies Paar jvon Factoren 
durch einen quadratischen ersetzt. So z. B. um 12 • 13 • 14 • 15 zu finden, 
multiplicirt man die Gleichungen : 
2D 2 D 3 V2 • 13 = 2>3 2 12 2 + ii i i3 2 - Z) i a 23 2 
2ö 4 /> & 14 • i5 = /> 5 2 i4 2 +D 4 2 l5 2 —¿V 45 2 
mit einander. Rechts erscheinen dann nur quadratische Factoren.