Substitution. 
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Substitution. 
d d d 
dx l dx 2 dx g 
d _d_ d 
d Vx °yz öy3 
d d d 
dz t dz 2 dz 3 
welches mit 123 bezeichnet werden soll, 
und also Invarianten erzeugt. 
Die Operationen: 
123 ß m' 5 . . . 
an einem Product: 
U L U 2 U 3 . . . 
vollzogen, geben Invarianten und Cova- 
rianten. Sollen dieselben wie hier im 
Allgemeinen angenommen wird, auf eine 
Function gehen, so sind schliesslich die 
Indices zu unterdrücken. 
Entwickelt man z. B. das Symbol 123 2 
zunächst an einer ternären quadratischen 
Form mit den Coefficienten 
aa\ a", 2 6, 2 6', 26" 
indem man für U l U 2 U 3 die Form setzt 
und die Coefficienten einer jeden unter 
diesen dreien durch Indices unterscheidet, 
also: 
CI ^ . . , (Zj, (l 2 • . . 
Durch Unterdrückung der Indices folgt 
dann dafür: 
aala" + 266'6" - «6 2 - a'6' 2 - «"6" 2 . 
Um aber das Symbol 123 2 für eine 
beliebige ternäre Form zu entwickeln, 
braucht man nur die Coefficienten 
mit den zweiten Differenzialquotienten: 
_ d 2 U 
fix 2 ’ — dw 2 
6 - d ' U 
dy dz 
zu vertauschen. Offenbar erhält man so 
die Hesse’sche Determinante. 
Wie hei den binären Formen 
lässt sich jetzt zeigen, dass das 
Symb ol: 
123 2n+1 
bezogen auf eine Form immer 
verschwindet. Auch Functionen, 
welche durch reciproke Substi 
tutionen transformirt werden, 
können auf diese Weise behan 
delt werden. 
Werden x, y, z . . . durch eine belie 
bige, |, . durch die reciproke Sub 
stitution transformirt, welcho wie im Ilten 
Abschnitte gezeigt ist, derjenigen gleich 
d d d 
ist, welche r-, t-, -r- erleiden, und ver- 
dx oy d z 
steht man unter | 12 die Determinante: 
•cjL JL 
s dx t dx 2 
d d 
, %i ä Vi 
£— — 
<5 2 1 dz 2 
so ist dieselbe ebenfalls ein invariantes 
Symbol, welches zu Contravarianten führt. 
Z. B. die Operation: 
|12 2 
an zwei quadratischen Formen U l ,U 2 voll 
zogen, gibt, wenn man die Indices nach 
her unterdrückt: 
P («'«" - 6 2 ) + i; 2 (<*"<* - 6' 2 ) 
+ P (aa' - 6" 2 ) + 2yC (6'6" - ab) 
+ 2 (Ä"6-a'6') + 2|* (66' —rt"6"); 
wird U als die Gleichung eines Kegel 
schnittes betrachtet, so ist dies die Glei 
chung des reciproken Kegelschnitts. 
Concomitanten oder Zwischen 
formen nennt man Ausdrücke, 
welche xyz und i-yC enthalten. 
Dergleichen ergeben sich, wenn man 
in der Entwickelung einer Contravariante 
d n 
den Coefficienten von x mit — ver- 
dx 11 
tauscht. Z. B. die Operation | 12 2 unter 
dieser Voraussetzung auf eine Form vom 
dritten oder höheren Grade angewendet 
führt zu Zwischenformen. 
Man sieht auch leicht, dass wenn man 
von einem Invariantensymbol 12 n 12^ ... 
einer binären Form jedem Gliede ein | 
voransetzt: |12 M |34^, die Contrava 
riante einer ternären Form entsteht. 
Auf diese Weise erhält man z. B. aus 
dem Symbol der Discriminante: 
12 2 3i 2 13 2i 
die Gleichung der reciproken Polare 
I 12 2 | 34 2 113 | 24. 
Im vorigen Abschnitte ist auch dar- 
gethan worden, wenn man bei der Con- 
travariante: 
I, *1, £ • • • mit 
d 
dx ’ 
d d 
dy ’ dz