Substitution. 
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Substitution. 
vertauscht, und die so geforderte Opera 
tion an einer beliebigen Form U voll 
zieht, eine Covariante entsteht. 
Offenbar ist dies aber dasselbe als 
wenn man für £ eine neue Ziffer setzt. 
Umgekehrt bringt die Vertauschung 
einer bestimmten Ziffer mit £ die Evec- 
tante hervor. Z. B. aus 
123 124 234 3l4 wird 123 £12 £23 FM. 
Für binäre Formen würde indessen 
z. B. aus 12 auf diese Weise entstehen: 
d d 
x~ > 
oy öx 
oder da £ und y durch dieselben Sub 
stitutionen wie —y und x transformirt 
werden: 
d d 
x Yx +y 7h l ' 
was das Resultat nur mit einem zu 
unterdrückenden Factor behaftet. Also : 
Werden in einem Invarianten- 
Symbol einer binären Form alle 
Factoren, die eine bestimmte 
Ziffer enthalten, weggelassen, 
so ergibt sich die Evectante. 
12 2 34 2 13 24 gibt auf diese Weise 
z. B. 12 2 13. 
Man kann aber auch für £, £ in 
dU dU dU 
einer Contravariante c—, -—, -— setzen, 
o x Oy o z 
d 
(also nicht wie oben die Operation ^ ... 
an U vollziehen, denn im letzteren Falle 
entspricht —- dem Ausdrucke £ 2 hier 
/ dU \ 2 
aber j man erhält dann eine Co 
variante, und ihr Symbol entsteht wenn 
man in jedem Factor des Symbols der 
Contravariante für £ eine andere Zahl 
setzt, also : 
f34> 
geht auf diese Weise über in: 
134 234. 
Aber die durch D angedeutete Trans 
formationsmethode gilt auch für ternäre 
u. s. w. Formen. 
Setzt man wie dort; 
d d d 
X~ -f- y - 2 ~ — D 
ox, J oy, dz. 
so ergibt sich ganz in derselben Weise: 
4) 
5) 
Ausserdem sei 
dann ist noch; 
6) 
7) 
D, 234 - 341 + D, 412 = D 4 123 
123 • 145+ 124 153+ 125 134 = 0, 
P = »£ + yi + »f 
P123 = D, £~234-D 2 |3i + D,|l2 
Fl2£34 + |23 £14 + 131 £24 = 0. 
Durch diese Gleichungen lässt sich z. B. eine Relation zwischen den biqua- 
dratischen Covarianten einer biquadratischen Form finden. Wenn der Ausdruck: 
0 = « + 
zweimal quadrirt wird, so erhält man: 
8c<ßyd = 2Sa 2 ß 2 — A« 4 
und dies auf Gleichung 4) angewendet, gibt: 
124 234 314 — 40 4 4 123 4 - 12D, 2 D t 2 123 2 I24 2 . 
Dies ist unsere Relation. 
Das Symbol der biquadratischen Invariante einer ternären cubischen Form ist: 
123 124 234 314 = S. 
Hieraus soll der Ausdruck für die Invariante sechsten Grades der cubischen Form 
gefunden werden, welche aus der Hesse’schen Covariante hervorgeht, wenn man 
die Operation S an ihr vollführt. Dies geschieht in ähnlicher Weise wie z. B. 
die Hesse’sche Determinante der Hesse’schen Determinanten gefunden wird. 
In dem Symbol der Evectante: 
123 Fl2 123 F31