Substitution.
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Substitution.
woraus sich A und die Coefficienten A 0 , . . . ergeben. — Für die binäre Form
vom sechsten Grade ist, wenn man ;
uvw = (A 0 A v A 2 A s ) | (xy) 3
setzt, für V die Evectante der Discriminante dieser Form zu nehmen, nämlich:
{A 0 *-A s +2A l *-BA 0 A l A 1 , SA, 2 A 2 + 3 A 0 A t A, - 6A 0 \
6A l 2 A 3 -SA^AY-3A 0 A 2 A s , SA,A 2 A 3 - 2/1./-A 0 A 3 2 ) (xy) 3 .
Es lässt sich nämlich leicht zeigen, dass die Operation :
an dem Producte dieser cubischen Form uvw und ihrer zuletzt geschriebenen
cubiscben Covariante vollzogen, ein Resultat proportional der ersteren gibt. Denn
vertauscht man dieselbe mit der canonischen Form, was die Invariante nicht
ändert, also mit
so ist :
A 0 = A S = 1, A l= A 2 = 0.
Die Covariante aber ist dann :
Die Operation:
d 3 d s
dy 3 dx 3
ist also an x e —y e zu vollziehen, was x 3 — y 3 gibt.
In diesem Falle wird A bestimmt aus der Gleichung;
« 3 + * «4 «s «6
welche entwickelt nur grade Potenzen von A enthält. — Wird dann wie vorhin
u, v, w auf die Form x 3 + y 3 gebracht, und in die drei Factoren :
x + y, x +fy, x + t 2 y
zerlegt, wo t eine dritte Wurzel von Eins ist, so ist der canonische Ausdruck
der binären Form sechsten Grades :
A (x-\-y) e + B (# + *y) e + C(x-f t 2 y) 6 + D (x* — y 8 ).
Es lässt sich aber auch leicht zeigen, dass die Factoren der cubischen Invariante:
11 — V, v — w, w —u
sind, wenn u, v, w die Factoren der cubischen Form selbst sind, und aus diesem
Grunde ist die canonische Form auch :
v e -f- d 6 -(-*0 8 -f-Awcw (u — v) (v — w) (w — u).
Bei einer Form achten Grades ist die canonische;
n B + v 3 -f- w s -f* lu 2 V 2 W 2 Z,' ! ,
wie man sieht, wenn man das Operations - Symbol ganz wie bei der Form sechsten
Grades bildet und an u 2 , v 2 , w 2 , z 2 operirt.
Es fehlt bis jetzt noch die Untersuchung der Formen höheren Grades, wenn
derselbe 2n ist, so wie die ganze Untersuchung für ternäre Formen:
Für eine cubische ternäre Form ergibt sich:
x 3 +2/* + z 3 -\-Gmxy z,
für eine quaternäre findet Sylvester:
x 3 _)_ yS -J-z* + m 3 + r 3 .
