Substitution. 
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Substitution. 
Nun wird, wie dies gestattet ist, x und 
hält also das Symbol: 
d 2 
y durch -r-, 
9 V 
— -r- ersetzt; man er- 
O X 
fix dy 
und bestimmt dadurch eine Covariante vom ersten Grade, die für die nene cano- 
nische Form gibt: 
a t x + a 3 y. 
Die Hesse’sche Determinante ist vom sechsten Grade in den Veränderlichen, 
vom zweiten in den Coefficienten. Ihre Gestalt ist: 
2 [(», - »,) (» - x 3 y) (x - x^y) (je - x h y)] 2 = (« 0 a, -a l ‘ 2 )x e 
+ 3(«o«3 — « t «a) X*1/4-3 (a 0 ö 4 + «i«s — 2a 2 2 )x i y 1 + (« 0 « 5 + 7a t a t 
— 8 a 1 a 3 ) x 3 y 3 +3 (a l a i + a 3 a x — 2« 3 2 ) x i y i + 3(ct. 2 a s - a s a t ) xy s 
+ 0*s«4 -«i 2 ) V 6 - 
Untersuchungen und entwickelte Darstellungen für Invarianten und Covarianten 
von Formen sechsten bis neunten auch zwölften Grades enthält Cayley : Second 
memoir upon Quanlics. Philos, transactions Vol. 146, p. 123 seq. 
16) Besondere Untersuchung ternärer Formen und solcher 
von mehr als drei Variablen. 
I. Die ternäre quadratische Form : 
(aa'a"b'b fr ) | (xyz) 2 
hat nur eine Invariante, ihre Discriminante oder Hesse’sche Determinante: 
a b" b' 
b" a’ b \=aa'a" + 2bb'b"-ab* — a'V*-a"b"*. 
h r b a" I 
Verschwindet sie, so zerfällt der durch die Form vorgestelltc Kegelschnitt in zwei 
grade Linien. 
Die Evectante derselben ist die einzige Contravariante der Form. Sie ist: 
a b" b f £ 
b” a! b y 
b' b a" £ 
I v C o 
Hieraus lassen sich entsprechende Entwickelungen für die Formen höherer 
Grade ableiten, wenn man unter an'a" die zweiten Differenzialquotienten versteht. 
Die erstere Determinante bleibt dann die Hesse’sche, die zweite aber ist eine 
Zwischenform. 
Die canonische Form: 
+ y 1 + 2 2 , 
kann auf unendlich viel Arten gebildet werden. Die geometrische Bedeutung ist 
die eines sich selbst conjugirten Dreiecks, dessen Ecken x, y, z sind, d. h. eines 
solchen, wo die Ecken die Pole ihrer Gegenseiten in Bezug auf den Kegelschnitt sind. 
II. Seien jetzt S und zwei quadratische ternäre Formen, -S bezeichnen wir 
wie vorhin, bei geben wir den Buchstaben a,, a\ . . . Indices unten. 
Bildet man die Discriminante von 
kS + S,, 
so sind die Coefficienten der Potenzen von k Invarianten des Ssytems. Setzt man ■ 
hS + Sj = k 3 A + h 3 0- -f- hfl t + A,, 
so sind A, A t die Discriminanten der Formen, und