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ersetzt; man er- 
r die nene cano- 
i Veränderlichen, 
■ (a u a s + 7 a l a l 
s - ß 3 et 4 ) xy 5 
und Covarianten 
Cayley : Second 
und solcher 
•minante: 
a"b"K 
jelschnitt in zwei 
'orm. Sie ist: 
Formen höherer 
otienten versteht, 
te aber ist eine 
he Bedeutung ist 
sind, d. h. eines 
Kegelschnitt sind, 
S bezeichnen wir 
;es unten. 
ems. Setzt man 1 
Substitution. 
677 
Substitution. 
f d d 
d d 
. <5 , d • 
9 = { 
.'•‘S + “'S7+“ ■ 
f d d 
dV’ + bi db 
\ 
*, = l 
[ Cl d^ l + a iV. + • ‘ 
A, 
oder entwickelt; 
9 = a, {a’a" - b») + a\ (a"a - b’*) + (aa’ - 6" a ) + 2 6 t (6'6" - ab) 
+ 26', (6"6-o'6') + 26" 1 (66"- a”b") 
und für 9 X der entsprechende Ausdruck, der erhalten wird, wenn man die 
und S entsprechenden Coefficienten verwechselt. 
Als Function dieser Invarianten kann man alle bleibenden Eigenschaften 
zweier Kegelschnitte ausdrücken. Die Berührung derselben wird ausgedrückt, 
wenn man die Discriminantc der Form: 
Am 3 + 9u*v + + A 
verschwinden lässt. Die Gleichung 
9 = 0 
drückt aus, dass der zweite Kegelschnitt durch die Ecken eines in Bezug auf 
den ersten sich selbst conjugirten Dreiecks geht. Denn dann kann die Gleichung 
des ersten auf die Form: 
x 2 + 2/ 2 +2 2 = 0, 
die des zweiten auf 
2 byz + 2 b'zx + 2 b’’xy 
gebracht werden, und es wird: 
a ~ a' — a" — 0, 
also: 
9 = b v (b’b" - ab) + b\ (b"b - a'b') + 6", (66' - a"6"), 
also gleich Null, wenn 
6 = 6'= 6" 
ist, und da 9 eine Invariante ist, so bleibt diese Eigenschaft bei linearer Substi 
tution erhalten. 
Sei jetzt gefragt, unter welcher Bedingung es ein Dreieck gibt, das dem 
einen Kegelschnitt um-, dem anderen eingeschrieben ist. Sind dann: 
x = 0, y = 0, a = 0 
bezüglich die Gleichung der Seiten des Dreiecks (in Trilinear-Coordinaten), so 
nehmen die Gleichungen der Kegelschnitte durch Transformation die Form an: 
2byz + 2 b’zx + 2 b’’xy = 0, x 2 -\- y 2 z 2 — 2?/2 — 2zx — 2xy = 0 
und die Relationen zwischen den Invarianten sind bleibend. Diese Invarianten 
aber sind: 
A = 266'6", A , = — 4, 9 = ~(6 + 6'+6") 2 , 9 X = 4(6 + 6' + 6"), 
also findet die Relation 
9 X 2 = 4#A, 
statt, und dies ist die gesuchte Bedingung. 
Es könnte ein Zweifel entstehen, ob die hinzukommenden Factoren, welche 
Potenzen des Moduls sind, diese Relationen nicht stören, da sie im Allgemeinen 
doch verschiedene Potenzen sein können. Dies findet aber hier nicht statt, weil 
die Relation homogen ist. 
Betrachten wir jetzt die Covarianten und Contravarianten des Systems. Sind 
2 = 0, A, = 0 
die Reciprokalcurven (Formen) von 
S = 0, S t = 0, 
so ist die Reciprokalcurve von 
S + ÄS, = 0 
auszudrücken durch: 
2 + kifi + №2, = 0, 
wo