Substitution. 
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Substitution. 
if, = {a’a", -fo'V, — 246,) f 5 + («"«, + ««", — 267/,) y 2 + (««', + «'«, 
— 26"6",) £ 2 + 2(66", + 6"6, -«6', -a'6,) < ? C + 2(6'6 l + 66', — a'6", 
- «"6',) ff + 2 (6"6', + 6'6", - «"6, - a6",) f y. 
ff — 0 drückt die Bedingung aus, unter 
welcher die Linie: 
x l + yi + H = 0 
von den gegebenen Kegelschnitten har 
monisch geschnitten wird. 
Die Gleichung: 
'/ 2 = ±2J l 
drückt dagegen aus, dass dieselbe Grade 
durch einen der vier Durchschnittspunktc 
beider Kegelschnitte geht. 
Werden in <f für a, a', a" ... die 
entsprechenden Coefficienten der recipro- 
ken Kegelschnitte substituirt und f, y, C 
durch x, y, i> ersetzt, so ist: 
F=0 
die Gleichung eines zu den gegebenen 
covarianten Kegelschnitts, welcher den Ort 
der Punkte bildet, welchen harmonische 
Tangentenbüschel der gegebenen Kegel 
schnitte entsprechen. 
Die Gleichung der gemeinschaftlichen 
Tangenten beider Kegelschnitte ist also: 
F 2 = 4 AA ,SS,. 
Alle zu den gegebenen covarianten Ke 
gelschnitte können [durch S, S® F aus 
gedrückt werden. Z. B. substituirt man: 
dü dJJ 
d x' dy' 
dJJ 
d z 
für f, y, f 
in eine beliebige Contravariante, so er 
hält man eine Covariante. 
Thun wir dies für die Reciprokalcurve 
von S,. Wir nehmen die canonischen 
Formen: 
Durch Substitution von 
ax, a'y, a"z für f, y, f 
in 2 1 erhält man dann 
-f-a" l n' 2 y 2 a l a' l a" 2 z 2 
= #,S-F. 
Theoreme wie diese lassen sich von Kegel 
schnitten natürlich auf beliebige alge 
braische Curven übertragen, wenn die 
Coefficienten durch die zweiten Differen 
zialquotienten ersetzt werden. A und 
A, verwandeln sich dann in die Hesse 
schen Determinanten der Curven, #, #, 
sind andere Covarianten. 
Z. B. aus der Covariante: 
„ = ( d ‘ u > d ut1 _ d _lh\ ffl 1 , 
\ dx 2 dy 2 dx dy) \d z) 
worin wir die ersten Differenzialquotien 
ten durch die zweiten mittels des Satzes 
von den homogenen Functionen aus- 
drücken, bildet man: 
(n — l) 2 \p = n (n — 1) #, U — F, 
Ist also rp, die Covariante die aus ip 
durch Vertauschung von U und 17, ent 
steht, so ist: 
(n — 1) 2 \p, = n, (n, — 1) # i/, — F 
und hieraus ergibt sich: 
(n— l) 2 ip — (n, — l) 2 xp v — n (n— 1) #,17 
— n l (il, — 1) #i/,. 
II. Jetzt seien drei Formen zweiten 
Grades gegeben 
S, $2- 
S = ax 2 + a'y 2 + a”z 2 
S, = a l x 2 + a' l y 2 -f- a",s 2 . 
Hier sind beide auf dasjenige fundamen 
tale Dreieck bezogen, dessen Seiten in 
Bezug auf beide Kegelschnitte dieselbe 
Polare haben, dann ist: 
2 - rtV'f 2 + a"ay 2 + aa'C* 
= a',a",P 4-a",a,p + a,a',p 
if ~ («'«", + a”a\) P + (a"a, 
-f- an",) y 2 4~ (aa', -j-a'a,) f 2 
F — a«, (a! a", -fa"a',) x 2 4-a'a', (a"a, 
+ aa",) r/ 2 + a”a", (««',-}- a'a,) 2 2 
A = aa'a" 
A, = a,a',a", 
# = a,a'a" + a',a"a + a",aa' 
#, = aa',a", -f a'a",a, + o"a,a',. 
Wir bilden die Discriminante von 
AS 4- /uS l -j- j/S a . 
Ihre Gleichung ist in A, v vom drit 
ten Grade, und die Coefficienten der 
verschiedenen Potenzen von A, /u, v sind 
Invarianten. So ist der von A, ¡u, v gleich 
123 2 ; 
sind die Formen identisch, so ist dies 
die Discriminante. 
Von Covarianten sind zu merken die 
harmonischen Kegelschnitic F, und die 
Functional - Determinante: 
123. 
In ihr erscheint ein Punkt, welcher 
allen drei Kegelschnitten gemein ist, 
als Doppelpunkt (vergl. Abschnitt 9). 
Die Functional-Determinante ist also 
ein Kegelschnitt und eine grade Linie,