Substitution. 
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Substitution. 
wenn S, S t , S a zwei Punkte gemein 
haben. Für drei Kreise ist sie z. B. 
aus der unendlich entfernten Graden und 
dem Orthogonalkreis zusammengesetzt. 
Es gibt aber auch eine Contravariante 
vom dritten Grade: 
|~12. |23. |Sl. 
Ihr Verschwinden drückt die Bedingung 
aus, dass die Grade: 
x£ + yi + zC 
mit den drei Kegelschnitten ein System 
involutorischer Punkte bestimmt. 
Es lässt sich auch leicht die Gleichung 
dritten Grades bilden, welche die drei 
Graden gibt, die in Bezug auf zwei Ke 
gelschnitte gleiche Pole haben. Denn 
nimmt man sie zu Seiten des Funda 
mental-Dreiecks, so sind die Gleichun 
gen der Kegelschnitte: 
x* + y 2 + 2' = 0 
ax' 1 -f- a'y 2 -f- a"^ — 0 
und der harmonische Kegelschnitt ist: 
F = a t x 2 + a' v y 2 + a" t z 2 = 0. 
Die Functional - Determinante dieser 
drei Formen ist proportional mit 
xyz. 
Also die drei Seiten des einzigen in 
Bezug auf zwei Kegelschnitte S, S t sich 
selbst conjugirten Dreiecks sind durch 
die Functional-Determinante von S, S lf 
F bestimmt. 
Um a, a', a" zu bestimmen, bemerke 
man, dass sich ergibt; 
A = 1, A = aa' a". 
9 = a + a! + a", 
0 1 = aa' -f- a!a" + a"a, 
a, n', a" sind also die Wurzeln der 
Gleichung: 
AA* -,n* + .V- A t = 0. 
Das Problem ist dasselbe, wie das 
der Transformation einer Fläche zweiten 
Grades zu ihren Hauptebenen. Denn 
beim Uebergange von einem orthogona 
len Axensystem zu einem andern bleibt 
x 2 y 2 -f- z 2 
unverändert. Ist also: 
(.aa'a"bb'b"') 1 {xyz) 2 = U 
die Gruppe der Glieder zweiten Grades 
in der Gleichung der Fläche, so sollen 
die beiden ternären Formen: 
x 2 + y 1 + 2 2 und u 
in die andere 
x 2 + y 2 + s 2 und Ax 2 -f- A'y 2 + A"z 2 
umgewandelt werden. 
Die drei Hauptebenen werden bestimmt 
durch die Functional - Determinante, dieser 
beiden Formen und ihre harmonische 
Covariante F. Die Coefficienten A, A', 
A” ergeben sich wie oben aus den In 
varianten. 
Für F kann man die reciproke Po 
lare von U in Bezug auf 
x 2 + y 2 + Z 2 = 0 
nehmen, also: 
V= {a'a" — b 2 , a"a — h' 2 , aa' — b" 2 , b'b" — ab, b"b— a'b', bb' — a"b") 
Dann sind die drei Hauptebenen bestimmt durch die Determinante: 
xyz 
ÖU SU dJU 
d x d y dz 
= 0. 
dV dV 
d x d y dz 
IV. Für die cubische ternäre Form ist die canonische Gestalt: 
x z + y 3 + 2* + ßmxyz. 
Die Hesse’sche Determinante derselben: 
{xyz) 2 . 
H = 123 2 = m 2 (** 4-y* + 2*) - (1 + 2m*) xyz 
ist die einzige unabhängige Covariante vom dritten Grade, Alle andern nehmen 
die Form an: 
U-f XH= {x a + y s +»*) + Gm^yz. 
Im Allgemeinen bedeutet die Hesse’sche Determinante einer Curve geome 
trisch den Ort der Punkte, deren in Bezug auf die Curve genommener Polarkegel 
schnitt ein Paar von graden Linien ist. 
Ist die Curve dritter Ordnung, so gehört der Durchschnittspunkt dieser gia- 
den der durch die Hesse’sche Determinante gegebenen Covariantencurve an.