Substitution. 
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Substitution. 
Auch hat die cubische Form eine Zwischenform. Ihre Gestalt für die cano- 
nische Form ist: 
£12 2 = (yz — tn^x 2 ) £ 2 + (2# — m’y 2 ) y 2 + (xy — tn 2 z 2 ) £ 2 + 2(ni 2 yz — mx 2 ) >?£ 
+ 2(in a zx — my 2 ) ££ + 2 (m a xy — wi2 2 ) £>7. 
Die fundamentalen Invarianten der ternären cubischen Form fand Aronhold, 
nämlich zuerst eine Invariante vierter Ordnung: 
S = 123 124 234 314. 
Dies Symbol ist nämlich symmetrisch in Bezug auf die Ziffern 1, 2, 3, 4 und 
bei Vertauschung derselben ändert sich das Zeichen nicht. Da es ausserdem jede 
Ziffer dreimal enthält, muss es bei cubischen Formen eine Invariante geben. 
Für die canonische Form ist: 
und für die Form: 
Die Evectante von S ist: 
S — — m (1 — wi 3 ) 
ax 3 4- by 3 -f- a 3 -f- ßmxyz 
S =. —m (ahc — m 3 ). 
dS 
da 
1,1, 1 
+ . . • • 
selbstverständlich eine Contravariante der gegebenen Form. Sie ist für die ca 
nonische Form; 
w(£ 3 + y 3 + Ç 3 ) + (1 —4 m 3 ) £*?£. 
Cayley gibt ihr eine dreifache geome 
trische Deutung. 
a) Ihr Verschwinden zeigt an, dass 
die Grade: 
+ «/»/+*£ = 0 
diejenige ist, welche irgend einen Punkt 
der Hesse’schen Determinantencurve mit 
ihrem correspondirenden Punkte verbin 
det, d. h. mit dem Durchschnittspunkte 
der beiden Graden, welche die canoni 
sche Polare dieses Punktes bilden, d. h. 
sie ist die Tangentialgleichung der von 
der Verbindungslinie correspondirender 
Punkte der Hesse’schen (Determinantcn)- 
Curve umhüllten Curve. 
b) Es wird dadurch auch angezeigt, 
dass die Linie 
x£ + y>] + *£ = 0 
eine der Graden ist, in welche der Po- 
larkegclschnitt eines Punktes der Hesse 
schen Curve zerfällt, d. h. diese Linie 
umhüllt dieselbe Curve, wie jene Ver 
bindungslinien entsprechender Punkte der 
Hesse’schen Curve. 
c) Die Grade 
identisch gleich Null. 
Macht man in der ersten Evectante 
die Substitutionen: 
— für £ u. s. w., 
dx 
so entstehen Invarianten. Auf die Form 
selbst angewendet, gibt dies Symbol wie 
der S, wendet man es auf die Hesse’- 
sche Determinante an, so kommt eine 
neue Invariante von der sechsten Ord 
nung. Sie ist für die canonische Form : 
T = 1 —20»n 3 — 8 m«. 
Näheres über dieselben gibt Aronhold: 
Theorie der homogenen Functionen drit 
ten Grades von drei Veränderlichen, und 
Cayley Philos. Transactions. Vol. 146, 
p. 641. 
Jede Invariante unserer Form ist nun 
eine rationale Function von S und T. 
Z. B. die Discriminante, welche eine In 
variante des zwölften Grades ist, hat die 
Form : ^ 
T 2 - 64S 3 , 
+ yy + zC = 0 
gibt mit den drei einem beliebigen Punkte 
in Bezug auf die Curve dritter Ordnung 
entsprechenden Polarkegelschnitten ein 
System involutorischer Punkte. 
Uebrigens ist die zweite Evectante 
von S; 
für die canonische Form: 
— (l + 8»n 3 ) 3 . 
Die Hesse’sche Determinante der Hesse 
schen Determinante, welche, wie wir ge 
sehen haben, die Form hat: 
XU+ pH