Substitution. 
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Substitution. 
ausgeführt an der Summe von der Zwi 
schenform : 
Í12 2 U 
und der Form: 
¿ (*£ + yy + 
ausgeführt werden. In der so entstehen 
den Function sind die Coefficienten der 
Potenzen von I Invarianten der cubi- 
schen Form. 
Für die canonische Form ist nun: 
H2 1 + + *,+ *£)« 
= (A— m>) (» a £* + y.V + 2 2 Ç Î ) 
+ 2 (A + wx 2 ) -f- + xyfy) 
+ (yz£ 2 + zaV + #ÿ£ 2 ) — 2»t (x 2 yÇ 
und die Operation : 
Î23 4 Ï23' 2 
hieran vollzogen gibt: 
12 A 3 — 12-SA 4- T. 
V. Es sollen jetzt noch einige Be 
trachtungen an die Theorie von drei 
ternären quadratischen Formen ange 
knüpft werden, die sich auf die Resul 
tante dieser Form beziehen. Die Re 
sultanten sind nämlich nicht nur Inva 
rianten in Bezug auf die Transformation 
der Variablen, sondern auf die Trans 
formationen der Formen selbst, solche 
Invarianten werden zuweilen Combinan- 
ten genannt. Es weicht in der That, 
wie leicht zu sehen, die Resultante der 
drei Formen : 
AS 4- ¿uSj 4* r'Sj, 
A , S + i u'S l 4-*'S a , 
A"S 4- 4- y"S t 
nur um einen constanten Factor von der 
Resultante der Formen : 
s, S„ s 2 
ab. Nun sind die Coefficienten der Po 
tenzen von A, t u, y in der Discriminante 
von 
AS 4- ,uS l 4- vS., 
wie schon früher gezeigt wurde, Inva 
rianten. Betrachtet man aber A, ¡u, y 
als Veränderliche, so ist die Discrimi 
nante selbst eine cubische Form; bilden 
wir deren Invarianten, so sind diese von 
der oben bezeichneten Art, denn sie blei 
ben bei linearer Transformation von A, 
ju, y ebenfalls ungeändert. 
Die Invariante S dieser cubischen 
Form ist in den Coefficienten jeder der 
gegebenen Foxunen vom vierten Grade, 
also nach Natur und Grad mit den Re 
sultanten übereinstimmend. Es fragt sich, 
ob sie mit ihr identisch ist. 
Geben wir zwei der ursprünglichen 
Formen die Gestalt: 
4- z 2 , ax2 4- a'y* 4- o!’z 2 
und vertauschen dieselben mit linearen 
Functionen von ihnen, wie dies ja nach 
dem Obigen geschehen kann. So z. B. 
kann man y und z eliminiren nnd erhält: 
(a' — a) x 2 — («" — a') z 2 
(a' — a) y 2 — (a — a") z 2 . 
oder wenn man für x, y substituirt: 
x 2 — z 2 , y 2 — z 2 . 
Der dritten Gleichung kann man dann 
die Gestalt geben: 
2 2 + 2 6i/s + 2 6',s a: + 2b ,r xy. 
Da nun die Auflösungen der beiden er 
sten Gleichungen sind: 
x = + 2, y — + z, 
so erhält man durch Einsetzen in die 
dritte und Multiplication der Resultate 
sogleich die Resultante: 
R = (1 4-26 + 2b' 4-26") (1-26 4-26' 
— 26") (1 + 26 —26' —26") (1-26 
— 26' +26") = 1-8(6* + 6' 4 + 6" 2 ) 
+ 16 (6 4 + 6'*+6" 4 —26*6'*— 26 2 6" J 
— 26' J 6" a ) + 64 66'6". 
Die Discrimante von 
AS + /uS t + 1'S t 
aber hat die Gestalt: 
y* (266'6" -6"*) + (6"*-6*),/ 2 A 
+ (6" 2 —6'*) v 2 ¡j. — k 2 [x — A i u*+A i uv. 
Die Invariante S derselben, ergibt 
sich genau wie die obige Resultante, je 
doch mit dem Unterschiede, dass das 
letzte Glied 48 66'6" statt 6466'6" ist. 
Beide sind also nicht identisch. 
Durch Elimination dieser letzten Glie 
der ergibt sich noch: 
4S—3fi = [1 — 4(6* + 6'* + 6"*)] 2 . 
VI. Es sind noch einige Bemerkun 
gen über ternäre biquadratische Formen 
zu machen. 
Jede Invariante hat den Grad 3«t; 
die vom dritten Grade 123 1 enthält Ab 
schnitt 13), die vom sechsten Grade kann 
in Determinantenform hergestellt werden, 
wenn man aus den 6 zweiten Differenzial-