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Radlinie. 
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Radlinie. 
immer gleich sein, — Diese Curve hat 
verschiedene merkwürdige Eigenschaften, 
und ist in mehreren Theilen der ange 
wandten Mathematik von Wichtigkeit. 
Zuerst sollen sich nach Wallis Angabe 
mit ihr der Cardinal Cusa und ein ge 
wisser Bovillus beschäftigt haben. Er- 
sterer schon um das Jahr 1481, letzterer 
etwa um 1500. 
Die geometrischen Haupteigenschaften 
der Cycloide sind, dass ihre Evolute eine 
congruente Curve ist, eine Entdeckung, 
welche von Huyghens herrührt (Ende 
des 17. Jahrhunderts). Schon viel frü 
her hat Roberval gezeigt, dass sich ge 
wisse von der Cycloide begränzte Flä- 
chenräume geometrisch quadriren lassen 
(1634). Das Tangentenproblem in Be 
zug auf diese Curve ist von Descartes und 
Eermat gelöst worden. Huyghens, Leib 
nitz und Johann Bernoulli bestimmten 
andere Elächenräume der Cycloide, welche 
quadrirt werden können. Eben so merk 
würdig sind die mechanischen Eigen 
schaften der Cycloide. Jakob Bernoulli 
fand 1697, dass sie die Linien des kür 
zesten Falles (Brachystochrone) ist, d. h. 
diejenige Curve, auf welcher sich ein 
schwerer Körper bewegen muss, wenn er 
unter dem Einflüsse der Schwerkraft 
allein in möglichst kurzer Zeit von 
einem zu einem andern gegebenen Punkte 
gelangen soll. Schon früher war fest 
gestellt, dass ein Punkt, welcher auf 
einer Cycloide Pendelschwingungen macht, 
grössere und kleinere Schwingungsbogen 
in gleicher Zeit beschreibt. Die Cycloide 
ist also auch Tautochrone, welche Eigen 
schaft Huyghens auf Uhrpendel anwenden 
wollte, um der Uhr einen ganz gleichmässi- 
gen Gang zu geben, jedoch haben die cycloi- 
dischen Pendel andrerseits zu grosse Nach 
theile, auch nähert sich der Gang eines 
Kreispendels, wenn er auch nicht voll 
ständig tautochron ist, dieser Eigenschaft 
doch in dem Maasse, dass ein solches für 
Uhren völlig ausreicht. 
Um die Gleichung der Cycloide (Fig. 58) 
in rechtwinkligen Coordinaten zu entwik- 
keln, sei die Grade, auf welcher der Kreis C 
rollt, OX zugleich Axe der X. Im An 
fänge der Bewegung möge sich der Punkt 
A der Peripherie, welcher die Cycloide 
beschreibt, im Anfangspunkte 0 der 
Coordinaten befinden. Ist M der momen 
tane Berührungspunkt, so ist also: 
OM — Bogen AM. 
Sei < ACM — 9, r = CA der Radius des 
Kreises, AN — y, ON = x, zieht man 
noch CP parallel MN, so ist: 
< ACP=9-^-, 
Fig. 58. 
AP = r sin ^.9 —'j ~ — r cos .9, 
CP = r cos (ö —= r sin ,9, 
y ■= AN = AP-{- PN ~ AP -f- CM, 
x = ON = OM - NM = Bogen AM - CP 
und Bogen 
AM — rO•, 
also: 
1) V = r( 1 — cos .9), 
2) x — r (.9 — sin ,9). 
Aus diesen beiden Gleichungen kann 9 
eliminirt werden, und man hat dann die 
Gleichung der Cycloide in entwickelter 
Form, nämlieh : 
cos 9 
У 
sin 9 — 
3) x — r 
(V)' 
УУ(2г-у)| 
Bequemer ist es jedoch in den meisten 
Rechnungen sich der Formeln 1) und 2) 
zu bedienen, ohne 9 zu eliminiren. 
Die Cycloide ist eine transcendente 
Curve. Aus ihren Gleichungen sowohl, 
als auch aus der Entstehungsart dersel 
ben lässt sich leicht ihre Gestalt ab 
leiten. — Gehen wir hierbei von den 
Gleichungen 1) und 2) aus, und setzen 
zunächst: 
9' = 2 n + .9, = x -f- 2 nr, 
so ergibt sich daraus: 
y — r(l — cos 9'), x r — r (.9' — sin ,9'). 
Diese Gleichungen haben ganz die Form 
von 1) und 2) und es folgt daraus, dass 
die Cycloide in congruente Stücke zer 
fällt, OMA, ANB u. s. w. (Fig. 59), der- 
art, dass die 
Punkte О und 
der Peripherie 
Die Anzahl 
gross, sie ei 
Seiten der X- 
9 reelles x 
immer positiv 
über der Absc 
9, = 2 n 
so kommt: 
y = r (1 — cos 
Gleichungen, d 
haben, und z 
OMA wieder 
gruente OM t 
dx 
~d9 
ein immer pc 
nehmenden 9 
sen. Ferner 
ein Ausdruck 
also von 0 bi 
9 = 2n negati 
ein Maximum 
also in Punkt 
trifft die Cur 
sie jedoch zu 
Der Winkel 
•,9 
Will man den 
und man hat: 
„Der FIä( 
eingeschlossen 
kreises.“