Symbol.
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Symbol.
1.2 • 3 ‘ ‘ ’
verstanden ist, hiernach erhält man also :
wo mit den in den Klammern eingeschlossenen Grössen wie oben zu operiren ist.
Auch das Zeichen der Differenzenrechnung:
A f(x) = + h) - fix)
findet leicht symbolische Verwerthung.
Bezeichnet z. B.
a7(*)
die nte Differenz, und wird
f{x + h) = ,9 fix), fix + 2 h)= ,9 *f{x), ... fix+ n h) = ,9 n fix)
getetzt, so hat man die symbolischen Formeln:
A = (.9-1), * = 1+A,
aus denen sich, wenn man ,9 und A zunächst als Grössen auffasst, ergibt:
A H fix) = (.9 - 1 f fix), ,9 W fix) = (1 + A) U fix)
A n fix) = & n fix)-nf> n - 1 fix) + n 1 {> n - 2 fix)-. . . ±fix)
& U fix) = fix) +ííA fix) A a /’(o;) u. s. w.,
d. h. :
oder:
Am/ 1 ix) = fix-\-nh) — nfix + n — lh) + n 2 fix + w—2/t) — . ..
/■(* + «A) = /■(«) + «A fix) + n 2 A7W + • • • •
Andere Symbole sind so aufzufassen, dass man die schliesslich sich ergeben
den Exponenten mit Indices vertauschen soll.
Hat man z. B. eine beliebige Reihe:
« a s +ß a s -! + • • •
und wird verlangt, dass in jedem Gliede der Index um p vermehrt, dann um q
vermehrt, beide Resultate addirt, mit der Summe in gleicher Weise verfahren und
dies «mal wiederholt werden, so kann man der Operation das Symbol gehen:
man erhält dann mit Anwendung des binomischen Satzes:
wo schliesslich die Exponenten mit Indices zu vertauschen sind. Also:
Es lässt sich die Begründung der symbolischen Rechnung ganz allgemein mit
wenigen Worten geben, und dies ist um so nöthiger, als sie nicht mehr, wie wohl
früher, nur ab und zu Anwendung findet, sondern, namentlich in der Algebra
der linearen Substitutionen bei jedem Schritte zur Verwendung kommt, also als
eine wichtige fundamentale Betrachtungsweise angesehen werden muss. Dieselbe
stützt sich auf folgende einfache Grundwahrheit.
Die Sätze der elementaren Algebra, d. h. solche, die allen Arten von Zahlen
gemein sind, können ganz formell als Combinationen von Buchstaben und Zeichen,
welche aus sehr wenigen, einmal bewiesenen fundamentalen Gleichungen hervor
gehen, aufgefasst werden.
