Symbol. 
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Symbol. 
I. Die Additions-Sätze, nämlich 
in so weit sie ganze Zahlen, Brüche 
irrationale und imaginäre Zahlen betreffen, 
beschränken sich auf die Grundbezie 
hung, dass in dem Ausdrucke; 
a -f- b -j- c -j- . . * 
die Buchstaben beliebig vertauscht wer 
den können. 
II. Die Subtraction, also die Ein 
führung des Zeichens —, fügt eben nur 
die Wahrheit hinzu, dass zwei ungleiche 
Vorzeichen -f- — oder — + stets —, 
zwei gleiche -)- + oder — — aber -f- 
geben, 
III. Die Klammer, welche als Zei 
chen zu betrachten ist, auf Addition und 
Subtraction angewandt, wird weggelassen, 
wenn man das vorstehende Zeichen mit 
jedem in ihr befindlichen combinirt, also: 
a + (b — c) = a-\-b — c 
a — (b — c) = a — b c. 
IV. Alle Sätze der Multiplication 
entstehen aus Combination der eben ge 
gebenen Sätze mit den folgenden beiden: 
In dem Ausdrucke abc ... ist die Ord 
nung der Buchstaben beliebig, und: 
a (b + c + d) ab + cb + db, 
d. h. ein Glied vor der Klammer ist mit 
jedem in derselben zu combiniren. 
Daraus gehen unter andern auch die 
Zeichenregel der Multiplication: 
+ a{— b)=z — ab 
und 
(— a) (— b) =— (— ab) — (ab) — ab 
hervor. 
Das Potenziren mit ganzen Exponen 
ten kann dann als ein wiederholtes 
Multipliciren betrachtet werden, und 
sind somit die für dasselbe sich erge 
henden Sätze nur Combination der hier 
hingestellten. Die negative und gebro 
chene Potenz findet ihre Begründung in 
der indirecten Definition: 
-Pa? = 1 
und aus dieser in Verbindung mit I. und 
IV. folgen die in der Algebra diese Ope 
rationen betreffenden Sätze. 
Endlich wird auch durch Einführung 
der negativen Potenz a 1 das Dividi- 
ren entbehrlich, und ist nur ein beson 
derer Fall der Potenzrechnung. 
Es erhellt also, wenn für irgend welche 
Operationszeichen, die man ja auch 
durch Buchstaben ausdrückt, unter denen 
man aber keinesweges nur Grossen zu 
verstehen braucht, die Sätze I. bis IV. 
dargethan werden, alle Resultate der ele 
mentaren Algebra ohne Weiteres für 
dieselben anwendbar sind. Jedoch findet 
hier eine Beschränkung statt, von der 
sogleich die Rede sein soll. 
Sind nun z. B f, f t , f 2 gewisse Ope 
rationszeichen, welche andeuten, dass an 
einer Grösse u eine gewisse Operation, 
welcher Art sie auch sei,, vorgenommen 
werden soll, welche schliesslich zu einer 
neuen Grösse f(u) führt, so kann man 
unter (f±_f x ±fn)u die Summe 
/■(«) ± ft («) ±/j(m) 
verstehen; die Zeichen -f- und — sind 
also ganz den in der Algebra gebrauch 
ten identisch , und beziehen sich auf 
Grössen, Somit sind die Sätze I., II. 
und III. ohne Weiteres übertragbar. — 
Ganz anders ist dies aber mit den bei 
den Sätzen IV. Dem Zeichen 
ft fi («) 
kann kein dem Sinne nach der Multipli 
cation gleichbedeutendes Verfahren zu 
Grunde liegen. Vielmehr ist der Sinn 
davon der, dass u zuerst der Operation 
f\ unterworfen werden soll, die Grösse, 
die sich dann ergibt, soll dann der Ope 
ration f unterliegen. Die beiden Sätze 
jV. würden dann sein: 
ff l (u) = fj{u) 
d. h.; 
„Die Operationen geben dasselbe Re 
sultat, wenn man sie in beliebiger Ord 
nung verrichtet, und; 
f(fi ±fi ±/j)«=/7»± ffjp) 
±/7s(«), 
oder wenn man: 
— f 2 (u) = w , f % (u) — z 
setzt; 
f(u + V + w) =f(u) +f(v)+ f(w) “ 
d. h.: 
„Die Operation f an einer Summe 
oder Differenz vollstreckt, ist identisch 
der Summe oder Differenz der Grössen, 
welche sich ergeben, wenn jedes Glied 
die Operation f erleidet.“ 
Nur wenn diese beiden letzteren Sätze 
richtig sind, darf ein der Algebra ent 
nommenes symbolisches Verfahren ein 
geschlagen werden. Es ist aber klar, 
dass diese Sätze nicht allgemein gelten, 
z. B. nicht wenny und f l beliebige Func 
tionen von u andeuten.