Radlinie. 
Radlinie. 
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Radlinie. 
Fig. 58. 
Fig. 59. 
(ff - -^) = — r cos ff, 
( S -i) = r.m9, 
4P-fPiV = AP + CM, 
- NM = Bogen AM — CP 
AM = rff, 
= r (1 — cos ff), 
- r (ff — sin ff). 
iden Gleichungen kann ff 
en, und man hat dann die 
Cycloide in entwickelter 
os ff 
У 
r r } 
es jedoch in den meisten 
ch der Foi’mcln 1) und 2) 
)hne ff zu climiniren. 
le ist eine transcendente 
ihren Gleichungen sowohl, 
der Entstehungsart dersel- 
h leicht ihre Gestalt ab- 
hen wir hierbei von den 
) und 2) aus, und setzen 
-f- ff, x' — x -f- 2 nr, 
daraus; 
i ff'), x f — r (ff' — sin ff'). 
igen haben ganz die Form 
und es folgt daraus, dass 
n congruente Stücke zer- 
NB u. s. w. (Fig. 59), der- 
art, dass die Abscissenunterschiede der 
Punkte О und А, A und В u. s. w. gleich 
der Peripherie des Erzeugungskreises sind. 
Die Anzahl dieser Stücke ist unendlich 
gross, sie erstrecken sich nach beiden 
Seiten der X-Axe hin, da für jedes reelle 
ff reelles x und у sich ergibt. Y ist 
immer positiv, also die Curve liegt stets 
über der Abscissenaxe. Setzt man noch: 
ff, = 2 /г — ff, x i — 2 nr — x, 
so kommt: 
у = r (1 — cos ff,), x L =r(d- l — sin ff j), 
Gleichungen, die wieder die Form 1) und 2) 
haben, und zerfällt daher jeder Theil 
OMA wieder in zwei symmetrische Con 
gruente OM und MA. Es ergiebt sich: 
dx 
— = r (1 - cos ff), 
ein immer positiver Ausdruck; mit zu 
nehmenden ff wird also x immer wach 
sen. Ferner ist: 
die Curve mit der Axe der x ist gege 
ben durch die Gleichung: 
, dy 
t£t l z=z — — 
dx 1 — cos ff 
sin ff ff 
- = cot T 
also: 
l- 
71 — ff 
der Winkel der Berührungsliuie mit der 
Abscissenaxe ist also gleich dem Com- 
plement des halben Winkels um den 
der Erzeugungskreis fortgerollt ist. Dies 
giebt offenbar eine geometrische Con- 
struction der Tangenten. Für ff = 0, ist 
l 
also die Curve steht in den 
in ff = V1 - ( 
ein 
dy _ 
rfff 
r sin ff, 
also von 0 bis M positiv, wo ff = n bis 
ff = 2n negativ ist, es findet also in M 
ein Maximum statt. Für ff = o ist y — o, 
also in Punkt 0, folglich in A u. s. w. 
trifft die Curve die Abscissenaxe, ohne 
sie jedoch zu schneiden. 
Der Winkel l der Berührungslinie an 
Punkten 0, A u. s. w. auf der Abscissen 
axe senkrecht, und da dies von den bei 
den Zweigen OMA und ANB gilt, die 
sich z. B. in A treffen, so werden die 
selben sich in A berühren, und also in 
den Punkten 0, A u. s. w. eine Spitze 
bilden. 
Was die Quadratur der Cycloide an 
betrifft, so betrachten wir den Flächen 
inhalt eines Stückes OLK, wo wir OK — x, 
LK = y setzten. Es ist dann; 
/ ,x 
ydx, 
n 
der gesuchte Flächeninhalt also auch: 
F = 
d. h. 
/ ff d x / ff /*ff 
y dd- = r^J (1 — cos ff) 2 d!)- = r 2 j (1 — 2 cos ff + cos ff 2 ) dy, 
F~ ri J' — 2 cos ff + -i- cos 2 ff ^ dy = r 2 — 2 sin ff + —■ sin 2ff^. 
Will man den Flächeninhalt des Stückes OMA haben, so ist ff = 2 n zu setzen, 
und man hat: 
F = 3nr 2 . 
„Der Flächeninhalt des von einem Zweige der Cycloide und der Abscissenaxe 
eingeschlossenen Stückes ist gleich dem dreifachen Flächeninhalte des Erzeugungs 
kreises.“