System. 
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System. 
Der zweite Knotenpunkt liegt eben 
so weit und in demselben Sinne (vor oder 
hinter) vom zweiten Hauptpunkte ent 
fernt, wie der erste Knotenpunkt vom 
ersten Hauptpunkte. Aber die Entfer 
nung der Knotenpunkte ist gleich der 
der Hauptpunkte von einander. 
Bezieht man also wieder die Formel 3) 
auf die beiden Hauptpunkte als feste 
Punkte A und A und nimmt für v und 
s 
v' die beiden Entfernungen der Knoten 
punkte von den Hauptpunkten, die wir 
mit k und k’ bezeichnen wollen, so ist: 
k' = - k 
und also wegen 3): 
8) xp — xp' = k, xp' — xp — k' 
xp — k — xpxp* — k' — xp, 
d. h.: Der Abstand der ersten Knoten 
punkte vom ersten Brennpunkte ist gleich 
der zweiten, der der zweiten Knoten- 
vom zweiten Brennpunkte gleich der er 
sten Brennweite. 
Die Lage der Knotenpunkte ist also 
völlig bestimmt, wenn man diederBrenn- 
und Hauptpunkte hat. Ist übrigens das 
erste und das letzte Medium von gleicher 
Brechungskraft, so ist; 
xp — xpk—k’ — 0, 
d. h. in diesem Falle sind die Haupt- 
und Knotenpunkte identisch. 
Unter Knotenebenen wollen wir noch 
die Ebenen, welche durch die Knoten 
punkte gehen und auf der Axe senkrecht 
sind, verstehen. Die Grösse eines Bildes, 
dessen Gegenstand in der ersten Knoten 
ebene liegt, gibt dann Formel 5b), wenn 
man v' = — v setzt. Also: 
gefunden werden. Selbstverständlich ist 
hierbei anzunehmen, dass das letzte Me 
dium des ersten und das erste des zwei 
ten Systems zusammenfallen; ferner muss 
die Entfernung der Systeme festgesetzt 
sein. Wir bestimmen dieselbe durch die 
Entfernung t des zweiten Hauptpunktes 
des ersten, und des ersten Hauptpunktes 
des zweiten Systems. 
Sind dann %,%' die Haupt - Brennwei 
ten des zweiten, »//, xp' die des ersten 
Systems, xi, n' die Entfernungen eines be 
liebigen Punktes und seines Bildes im 
ersten System von den betreifenden Haupt 
punkten desselben, so ist die Entfernung 
dieses Bildes vom ersten Hauptpunkte 
des zweiten Systems t — u', und die des 
zweiten Bildes vom zweiten Hauptpunkte 
dieses Systems sei ®, dann haben wir: 
u u 
= 1, 
Wird hier 
U = CO , V — w* 
gesetzt, so kommt: 
Xp' = u\ 
also : 
X № ' + / (< - xp') = (t~ xp') «/, 
also: 
x’ (< - xp ') 
t-'p'-x 
und w’ ist die Entfernung des zweiten 
Brennpunktes des vereinigten Systems 
vom zweiten Hauptpunkte des zweiten 
Systems. 
Eben so erhält man, wenn man 
5 c) 
y r _ xp _ n 
y xp ' n' " 
Bild und Gegenstand verhalten sich 
umgekehrt wie die Brennweiten, oder 
wie die äusseren Brechungskräfte, sind 
im Uebrigen gleich gerichtet. 
Es ist bereits oben gezeigt, wie man 
das Bild eines beliebigen Punktes eines 
zusammengesetzten Systems findet; ist 
das Bild bekannt, so lehren die Formeln 
6) und 8) die Haupt- und Knotenpunkte 
zu finden, vorausgesetzt dass man xp und 
xp' durch die Formel 3 a) berechnet hat. 
Indess ist es bequemer, hier ein recur- 
rentes Verfahren einzuschlagen. 
Wir lösen zu dem Ende die Aufgabe: 
Es sind die Haupt- und Brennpunkte 
zweier Systeme gegeben, dieselben wer 
den vereinigt, es sollen die betreffenden 
Punkte des zusammengesetzten Systems 
V ZZ OO , U — xc 
setzt: 
xc = 
xp( l - X) 
l-xp'-x 
für die Entfernung des ersten Brenn 
punktes des vereinigten vom ersten 
Hauptpunkte des ersten Systems. Somit 
sind die Lagen der Brennpunkte bestimmt. 
Um die Hauptpunkte zu bestimmen, 
gehen wir von derjenigen auf der Axe 
senkrechten Ebene im mittleren (beiden 
Systemen gemeinschaftlichen) Medium 
aus, welche so beschaffen ist, dass in 
ihr befindliche Gegenstände in beiden 
Systemen gleiche und gleichgerichtete 
Bilder geben. Da nämlich Bild und 
Gegenstand sich immer vertauschen lassen, 
so sind die Orte dieser Bilder offenbar 
die beiden Hauptebenen des gemeinschaft 
lichen Systems.