System. 
System. 720 
also ; 
a 
— = fl, 
Y 
Yl + a' -pò» 
10) 
Ç — w 
~T~ , <h 
—j—= « + yj| 
£ — w 
d 1 
Da w und also auch ——— nur durch 
y 
diese Gleichungen bestimmt, sonst be 
liebig ist, so sprechen dieselben nur aus, 
dass die Grössen 
, d£ d£ 
a + >T(' P + yr, 
die partiellen Differenzialquotienten ir 
gend einer Function £ und y sind. Also: 
„Damit die Gleichungen: 
x ~ £ » ~ C y — »? _ z— £ 
« y ß ~ Y ' 
wo £ eine gegebene Function von 
£ und y und «• + -j- y 1 = 1 ist, 
für jeden Werth von £ und y die 
Normalen an eine gegebene Flä 
che darstellen, ist die Bedingung 
nothwendig und ausreichend, 
dass die Grössen 
d £ df 
«+J-J-J. ß + rf, 
die partiellen Differenzialquo 
tienten derselben Function be 
züglich nach £ und y sind.“ 
Diese Bedingung kann man bekannt 
lich auch schreiben: 
d. h. 
m ^4-^i 0? Hz 
dy d£ dy d£ dy d£ 
Soll nun aber die Gleichung dieser 
Fläche dargestellt werden, so hat man 
wegen 10) : 
12) ~T~ = J* + ßdl + Y d 0‘ 
ff, ß, y, so wie auch £ müssen hier als 
Functionen von £ und rj gegeben sein. 
Also auch; 
13) - v ~ 7 t - M ’ ~ £ 
a ß y 
= — ^(«<f£ + ßdq + yd £)• 
Diese Gleichungen geben m, a, «a als 
Functionen von £ und y. Eliminirt man 
aus allen dreien £ und y, so hat man 
die Beziehung zwischen u, v und w, 
welches die Coordinaten der verlangten 
Fläche sind. 
Es möchte vielleicht nicht unangemes 
sen sein, diese wichtige Bedingung direct 
auf eine sehr einfache Art zu beweisen. 
Denken wir uns auf der Fläche £y£ 
eine beliebige Curvenstrecke S gezeichnet. 
Durch jeden Punkt derselben eine Nor 
malfläche auf die Linienschaar gelegt, 
wie dies ja nothwendig muss geschehen 
können, wenn eine Normalfläche vor 
handen ist, sei dann ds das Element der 
Curve, ft der Winkel desselben mit der 
graden Linie aus der Schaar, welche 
hindurchgeht, so ist offenbar cos ft ds das 
Element derjenigen Normalen, welche 
durch einen Endpunkt von ds geht, bis 
zu derjenigen Normalfläche, die durch 
den andern Endpunkt von ds geht, und 
da alle zwischen zwei Normalflächen be 
findlichen Normalstücke bekanntlich gleich 
sind, so ist j cos ft ds ein beliebiges 
Normalstück zwischen den zwei Normal 
flächen, welche durch den Anfangs - und 
Endpunkt von s bestimmt sind. Dieses 
Integral aber ist somit nur von den End 
punkten der Curve S, vorausgesetzt, dass 
dieselbe auf der Fläche £y£ liegt, ab 
hängig, also: 
f cos * ds = j' i a dÇ + ßdq -f- y<f£) 
ist vom Wege der Integration unab 
hängig. Offenbar ist aber das betrach 
tete Normalstück gleich U , womit 
a 
auch die Gleichungen 13) erwiesen sind. 
Kehren wir jetzt zu den Gleichungen 
ß f , y' zurück. 
Indem wir die beiden letzten Glei 
chungen 4) durch y dividiren, und wie 
der schreiben: 
k _ d £ /u _ d £ 
y d£’ y d£ 
so kommt :