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Radlinie.
Die beiden ersten Werthe in die erste Gleichung setzend, erhalten wir:
r (9 — sin 9) — a sin 9 = 2nr + r {9 — sin #) + a sin 9.
Der erste Werth gibt kein Resultat; aus dem letzteren erhalten wir:
r9 — (r + «) sin 9 — nr
9 —n — sin >*»
was ebenfalls unmöglich ist, da 9 — n und sin# ungleiche Vorzeichen haben. Es
ist also 9, = 4t — 9 zu nehmen. Die zweite Gleichung gibt dann:
9 — 2n = sin 9;
damit 9 —2t und sin 9 gleiche Vorzeichen haben, muss 9 zwischen 2n und 3t
liegen.
Es ist diese Gleichung immer zu erfüllen, denn der Differentialquotient der
rechten Seite ^1 + — ^ cos 9 ist im Anfänge für 9 = 27 grösser als der der lin
ken Seite 1) die rechte Seite wird also anfänglich auch schneller wachsen, da sie
aber für 9 = Sn ein Maximum 1 + — erreicht, und 9 — n von 0 bis n wächst,
r
so müssen beide Seiten einmal gleich werden, und der entsprechende Punkt ist
der Schnittpunkt. Gleichung:
, (r 4- a) sin 9
l — i—‘—
h r— (r + a) cos 9
gibt auch ein Mittel zur geometrischen Construction der Berührungslinie
Was die Quadratur anhetrifft, so ist:
y i -M = ( r +
■ cos 9) (r -(r-f-a) cos 9) d9
= {r + a)f (
’ 0 '
& /Sr + a
(2r + «) cos 9 +
F= ( r + aS> ( 3f ~ + a ) 9
(r + a) (2»’ -f a) sin #+
Also wenn man den vom ganzen Zweige eingeschlosscncn Raum berechnen will,
wo dann 9 = 2n zu nehmen ist:
F=(r + a) (3r + a) n.
31 Epicycloidc und Hypocy- “ entwickeln gehen wir von der ver-
2 0 jq e> jr j kürzten Epicycloide aus.—Sei O (Ing. 63)
der feste Kreis, C der Erzeugungskreis,
hcimmt man statt der graden Linie, R der Punkt, welcher die Curve beschreibt,
auf welcher der Erzeugungskreis rollt, \yi r ziehen die Graden BC und CO, die
einen andern festen Kreis, so^ beschreibt ers t ere rnöge Kreis C in A schneiden,
ein Punkt der Peripherie des Erzeugungs- die letztere geht durch den momentanen
kreises eine Curve, die man im allge- Berührungspunkt M der Kreise,
meineren Sinne auch. als Cycloide he- g e j p derjenige Punkt des festen Krei-
zeichnet, und die Epicycloide oder Hy- seS) welcher mit A in Berührung kommt,
pocycloide genannt wird, je nachdem und sei X 0 Axe der x, also:
beide Kreise sich von aussen oder von
innen berühren. Auch beschreibt ein ~ x ' ~ V'
Punkt, der nicht in der Peripherie des setzen wir ferner BA — h, AC — r, MO = R,
Erzeugungskreises liegt, aber mit ihm Bogen FM=AM=s, so ist:
fest verbunden ist, eine verkürzte oder $
verlängerte Epicycloide bezüglich Hypo- GD — CE — {R + r) sin -^,
cycloide, je nachdem dieser Punkt ausser
halb oder innerhalb des Erzeugungskreises pQ __ /p , r \ cog s
liegt. Um die Gleichungen dieser Curven ' R
Ra
Winkel
CG
Also: BD - BG
1)
r-f-a „ \ ,
—Tr— cos 2.9- ) d!h.
2)
Aus diesen
zwischen x und
(*‘+«)’ 6 j n 2.
obigen Gestalt.
liehe Epicycloide
Epicycloide :
3)
4)
und für die Hyp
5)
6)
Ist R ~ oo ,
in diesem Ealle (
keit rückt. Ist r
die Curve wird <
leicht z.B. aus 3
r sm
(i + v)
(i + v)
