3m. 
723 
* 
Flächen auf welche 
lie der brechenden 
h; 
_ w — C 
= S h const. 
r 
o als solche von u 
er Elimination von 
erührt eine Kugel, 
brechende Eläche 
ugel berühren, also 
r 
= c—C, 
S* (** + v a + n- 
y, aber wenn man 
! ), 
c 
System. 
System, 
d. h, verlegt man den Anfangspunkt nach einem durch das Brechungsverhältniss 
<S bestimmten Punkt der Graden, welche die beiden Punkte verbindet, worin sich 
ursprüngliche uud gebrochene Strahlen vereinen, so kommt: 
+ rf* + C'* = 0. 
Die Fläche beschränkt sich also lediglich auf den betrachteten Punkt. 
Nimmt man aber statt der brechenden eine spiegelnde Fläche, d. h. setzt 
man S — — 1, so kommt in der allgemeinen Gleichung; 
(f+Vi r +VTC i ) i = ({ —+ 6)*+(C—c)*, 
oder: 
(f* + 2at + 2hq + 2ct — a' — i» — c a ) 2 = 4 f 2 (| a -+V + £»), 
also ebenfalls eine Fläche zweiter Ordnung. 
Setzt man f 2 — a 2 — h 2 — c 2 = g, so kann dieselbe auch geschrieben werden: 
er - «*)r -c f )C f + = 
Ist <7 positiv, so ist: 
p — = 5 -f6 2 + c 2 , /■» — i 2 = 0-fa 2 -fa 2 
u. s. w. Die Fläche also ein Ellipsoid. 
Uebrigens lässt sich auch zeigen, dass dieselbe ein Rotationskörper sei. Denn 
nimmt man als Axe der x die Verbindungslinie der beiden Vereinigungspunkte der 
Strahlen, so ist b = c = 0, also: 
in - O *•-«(/*-«*) | + r in 1 + n = ’ 
bekanntlich die Gleichung eines solchen. Auch zeigt die Form der Gleichung an, 
dass die beiden Vereinigungspunkte die Brennpunkte sind. 
Sollen die Strahlen aber der Rotationsaxe parallel reflectirt werden, so ist 
a — co zu nehmen, was nicht möglich ist, wenn nicht auch f 7 —a 7 unendlich ist, 
das erste Glied links aber verschwindet, da es nur mit f 2 —n ! , das zweite aber 
mit a {f 7 — a 2 ) multiplicirt ist. Damit die übrigen von gleicher Dimension seien, 
ist aber die Dimension von a und f 2 —a 2 als gleich zu nehmen. 
Setzen wir also: 
f 2 — a 7 = Ah , a = Bh, 
wo h unendlich gross, A und B endlich sind, so ist: 
f* = Ah + B‘h*, 
also hierin Ah zu vernachlässigen. Die Gleichung ist dann: 
— AB$ + B 7 ( v 2 + £ 2 ) = 
4 
Dies ist die Gleichung eines Rotationsparaboloids. 
Ist aber S beliebig, so kann man immer noch b = c — 0 setzen, erhält also 
aus der allgemeinen Gleichung; 
[(£-«) 2 - n -« 2 £ 2 + (1 - S 2 ) 0? 2 + C 2 )] 2 = 4f 7 S 7 (I 2 -H 2 + f 2 ). 
Diese Gleichung ist ebenfalls nur von £ und g 7 + £ 2 abhängig, es ist also eben 
falls eine Rotationsfläche. 
Vertauschen wir noch g 7 -{-£* mit >? 2 , so haben wir die Gleichung der Erzeu- 
gungscurve. 
Nehmen wir wieder an, dass die gebrochenen Strahlen parallel der Rotations 
axe werden sollen, so ist n — co zu nehmen, dasselbe muss mit f der Fall sein. 
Es verschwinden dann im ersten Gliede alle Grössen ausser — 2a5 + « 1 —f 7 . 
Also: 
(« 2 -P-2a'^y = \f 7 S* (| 2 + g 7 + C 5 ), 
oder wenn man dieselben Bezeichnungen wie oben einführt; 
(A —2B£) 7 = 4ß 2 S 2 (| 2 + g 7 + C 2 ), 
46