Radlinie.
Radlinie.
69
Radlinie.
istalt der Cycloiden ist leicht aus
zeugungsweise darzustellen,
ind hier die gemeine Hypocycloide
1) und die Epicycloide (Fig. 65)
eilt. Die verlängerten und ver-
Curven haben ähnliche Verschlin-
Fig. 65.
s . s
-ß = cos «, sm — = Sin «
(i + v) s = cos ( w + 1 )"»
s = sin (« + !)«
s Grössen cos cc, cos (w + l)ß,
n(ii + 1) « stehen immer in einem
sehen Zusammenhang. Bei vie-
ersuchungen in der reinen und
■e der wo r negativ und n — — 1
haben die Gleichungen 1) und 2)
alt:
y — 0, X ~ r — h.
Fig. 67.
Die Curve wird ein Funkt. Setzen wir welches die Gleichung der betreffenden
dagegen n = 1, so haben wir:
y — 2r sin a — (r + h) sin 2«
x - 2r cos a — (r + h) cos 2«.
Beide Gleichungen ins Quadrat erho
ben und addirt geben:
x 2 + y 1 = 4:1' 2 -)-(r + /t) a — 4r(rh)cos ß,
Cycloide ist. Sei noch r negativ und
n = — 2, so kommt:
y — r sin a — (r — h) sin «
x — r cos « + (r — h) cos a.
• Ist h — 0, die Curve also eine gemeine
Hypocycloide, so wird y- 0.
. . .. „Die Hypocycloide, welche aus einem
während die letzten der beiden Ursprung- Erzeugungskreise entsteht, dessen Radius
liehen Gleichungen die iorm annimmt: h a ib so g ross a ] s Herdes festen Kreises
2r cos « — 2 (r -f K) cos « 2 + r -f- h = x; ist, wird eine grade Linie.“
eliminirt man a, so erhält man eine Glei- äUg 61316 * 13611 Falle hat man:
chung vierten Grades. y — h sin cc, x~ (2r — h) cos cc,
Ist noch h gleich Null, also die Curve a j g0 .
eine gemeine Epicycloide, so ergibt die
letzte Gleichung:
cos ß 2 — cos ß =
V , x
h 2 + {2r ~hy-
= 1.
2r
5 ^ |/ t 1 2r
und aus der vorletzten:
+ y 2 - 5r 2 — 4r 3
(i±]A-£).
„Die verlängerte oder verkürzte Cy
cloide ist also in diesem Falle ein Kegel
schnitt.“
Für r-h verwandelt sich derselbe in
einen Kreis.
Im Falle, dass h — 0 ist, lässt sich die
Rectification immer bewerkstelligen.
Man hat für den Bogen:
und aus 3) und 4) ergibt sich:
dx _ R -f- r
ds R
dy _ R + r
ds R
cos ß—■
sin i- +
R + r
R~
R + r
№)•
■y
} +
d. h.
