Radlinie. 
Radlinie. 
70 
dxV 
+ 
s= /„ 2 ( 1+ tt)“ 
ds 
( 1+ 7t) 
4 ( x + i) r ( 
2 r 
2 r 
)• 
Für den halben Zweig der Cycloide ist zu setzen s = nr, also; 
s =H i+ i)’ 
und für den ganzen: 
S =8r 
In allen diesen Formeln ist für die Hypocycloide r negativ zu nehmen. Wenn 
die Werthe von S negativ werden, so hat dies Zeichen natürlich keinen Einfluss, 
da es nur auf den absoluten Werth von -S ankommt. 
Die Gestalt der Formeln 1) und 2) zeigt schon, dass sich die Quadratur der 
von Cycloiden begrenzten Flächenstücke für jeden Werth von h ausführen lasse. 
Setzen wir nämlich wieder : 
— = et, R — nr 
nr 
wo jedoch n ganz beliebig ist, so haben wir: 
y = r (1 4- n) sin « — q sin (n + 1) « 
x = r (1 + n) cos « — g cos (n-\-1) a. 
So ist ein von der Abscissenaxe der Curve und einer Ordinate begrenztes Flächen 
stück gegeben durch die Formel: 
=A 
di 
also: 
dx 
da 
r (n + 1) sin a + g (n + 1) sin (n -f 1) a, 
F— C (fg («+!)(«+2) sin «sin (n+1)« — r a (n + l) 2 sin a 2 — p 2 (n + l) sin(n + l)« 2 ) da 
J 0 
-n 
rp(n + l) (n +2) 
[cos na — cos (n+2) a] — 
r 2 (n + l) s 
(1 — cos 2 a) 
Q 2 (n+1) A rg /sin na sin(n+2)n\ 
- 2 [1—cos2(n+1)«])da--^ (n+1) (n+2) ^+2/ 
r 1 (n+1) 2 ( sin 2«^ Q 2 (n+1) / sin2(n+l)«^ 
2 V* 2 / 2 V 2 (n+1) /’ 
Für 
s =: rrr, a ~ 
d. h. für den halben Zweig der Cycloide ergibt sich hieraus; 
r, rg . 2rt r 
F = T 8m v— 
2 (n+1) 2 / 7T . 2/i\ p 2 (n+l) f n S n ^ 
2 W - * 8 ” 1 «/ 2 2(n +1) J 
d. h. 
l< — sin— I 
n \ 
2 n /rg r 2 '(n + l) 2 
■ + 
4 / 
n+1 
2 n 
n [r 2 (n + l) + p 2 ]. 
Und im Falle, dass g — r ist, also bei der gewöhnlichen Epicycloide oder 
Hypocycloide: