Radlinie. 
Radlinie. 
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Radlinie. 
i s =: 7ii‘, also: 
e r negativ zu nehmen. Wenn 
ieichen natürlich keinen Einfluss, 
nmt. 
ion, dass sich die Quadratur der 
i Werth von h ausführen lasse. 
i r 
i (n + 1) nt 
i(n-f-l) «. 
iner Ordinate begrenztes Flächen- 
1) sin (n + 1) ce, 
2 sin a 2 — p 2 (n-|-l) sin(w+l)« 2 ) da 
2 ( w + l) a /i o \ 
—2—— (1 — cos 2 a) 
, iN / , /®in na 
+ 1) ( n +-2) ^— 
sin (M+2)n\ 
n-f 2 / 
sin 2(n+l)ß\ 
2(n+l) / 
sich hieraus; 
g 2 (n+l) 
2 
[ . 2n \ 
I sm— I, 
I n n I 
\n 2(n +1) J 
[r 2 (n+l) + p 2 ]. 
gewöhnlichen Epicycloide oder 
'=tP+(-+i 
Eben so leicht ist das Tangentenproblem zu lösen. Wir haben: 
— r'(l + n) cos a — q (n-f-1) cos (w + 1) n . 
da 
Also wenn l der Winkel der Tangente mit der Axe der x ist: 
_ dy _ r cos « — p cos (»i +1) ß 
dx — r sin ß + q sin (n+1) ß’ 
und für den Fall, wo q — r ist: 
tg l 
sin (n+ 2) -jj- 
cos ß — cos (n + 1) ce __ 2 
— sin ß -J- sin(n-)-l) a 
cos (n-f- 2)~ 
Da wir hatten 
4 (i + -^-) i- (l — cos ^), 
so lässt sich leicht eine Formel finden, welche die Bogenlänge S als Function 
des Tangentenwinkels l giebt. Dergleichen Formeln sind für die Ableitung der 
Eigenschaften der Curven oft sehr wichtig. (Vergleiche den Artikel: Trajectorie.) 
In unserem Falle ist: 
(R + 2r) s _ RI 
2rR *’ 2 r ~ R -f 2r ’ 
also: 
R + 2 r, 
Oder wenn man die Bogenlängen in entgegengesetzter Richtung zählt, und mit 
(Ä -j- 
dem Punkte beginnt, wo S = — ist, d. h. mit dem Punkte, wo sich die 
Curve am höchsten über den festen Kreis erhebt : 
0 4 r(Ä + r) RI 
S — —^—- cos 
R 
R + 2r* 
Im Falle der gemeinen Cycloide, wo 
R — co 
ist, verwandelt sich diese Formel in: 
S = 4r cos l. 
Im Falle der Kreisevolvente, wo 
r — 00 
ist, hat man, wenn man von der ur 
sprünglichen Formel ausgeht: 
_ 4r 2 RU* 
~ TT ’ 
d. h. 
Diesen Formeln kann man jedoch einen 
allgemeinem Standpunkt abgewinnen. 
4) Ueber das Abrollen von 
Curven auf andern Curven. 
Als Cycloide im allgemeinsten Sinne 
kann man diejenige Curve bezeichnen, 
welche entsteht, wenn eine beliebige 
Curve A, die wir Erzeugungslinie nennen, 
auf einer andern B, die fest gedacht 
wird, sich rollend bewegt; ein Punkt M 
der Curve A beschreibt dann die allge 
meine Cycloide. Wir wollen die Glei 
chungen für die Lösung dieses nicht un 
wichtigen Problems aufstellen, welches 
z. B. bei der Theorie der Zahnräder 
seine Anwendung findet (vergleiche den 
Artikel: Rad), uns aber darauf beschrän 
ken, eine Beziehung zwischen Bogen 
länge s und Tangentenwinkel l zu finden, 
aus der sich dann die Gleichungen zwi 
schen den rechtwinkligen Coordinaten 
leicht durch die Formeln: