Radlinie. 
Radlinie. 
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Radlinie. 
n bestimmenden Graden, seien S,L 
Jen Grössen in Bezug auf Curve B, 
i l diese Grössen in Bezug auf die 
de, vom Punkte M beschriebene 
Punkt 0 (Fig. 68) sei derjenige 
in Curve B, in welchem dieselbe 
RM l M 1 =l, NM ,M 2 = ~, 
NM l R = ~ + dl + du. 
MNM^dX + dL, 
M t R = NMM l -f MNM L 
hat man: 
dl + dH = dX + dL. 
feste Linie, mit welcher die Pan 
ier Curve A den Winkel L macht, 
zt die Linie MQ sein; dann sind 
)jectionen von NN t = dS auf MQ 
ikrecht darauf offenbar bezüglich: 
da cos A und da sin X, 
jectionen von MN auf dieselben 
gen: 
m cos H, u sin H 
! von M l N i also: 
-f- d (m cos H), u sin H + d(u sin H). 
i die Differenz der Projectionen 
N, und MN gleich der von NN t 
hat man: 
d (u cos H) = da cos A 
d (u sin H) = da sin X. 
äen Gleichungen^verbinden wir: 
ds = u (dX -\- dL). 
ar 
dl -j- dH — dX -j- dL, 
. l + H = X + L + C. 
Stimmung der Constante C be- 
wir, dass, wenn wir den Bogen 
in M zu zählen anfangen, für 
ich L ~ 0 und H ~ 0 ist. 
tVinkel X wollten wir so bestim 
men, dass derselbe für C — 0, also in O 
ebenfalls gleich Null sei, d. h. dass X 
der Winkel einer beliebigen Tangente an 
B mit der Tangente in Punkt 0 an 
dieselbe Curve ist, und ebenfalls für 
s = 0 auch l - 0 setzen, dann ist C — 0, 
also: 4) J-A-fl+L. 
Mit diesen vier Gleichungen, sind dieje 
nigen beiden zn verbinden, welche S als 
Function von L und a als Function von 
X geben, und die aus der Natur der bei 
den Curven folgen. Seien dieselben : 
f(a, A) = 0, '/ (8, L) ~ 0, 
so hat man da S = a ist: 
den Fall nehmen, wo die Curve B be 
liebig, und die Curve A ein Kreis ist. 
Wir hätten also den Fall eines Kreises, 
der auf einer beliebigen Curve rollt. 
Es ist dann a — pA, wenn p der Radius 
von A ist. In diesem Falle geben die 
Gleichungen 1) und 2): 
pX 
u cos ü = / cos XdX = $ sin X 
•' o 
pX 
u sin 3—1 (j sin XdX = (.i (1 — cos X), 
J 0 
da für A = 0 auch m = 0 ist. 
5) f(a, X) = 0 t.) 7 ( ff , L) = 0. 
Die Gleichungen 1) bis 6) lösen unser 
Problem völlig Da nämlich wegen 5) a 
eine Function von X ist, so geben 1) und 2) 
u und H durch blosse Quadraturen als 
Functionen von X. Die Gleichungen 5) 
und 6) geben dann L auch als Function 
von X und 4) giebt dann auch l als 
Function von X allein. Durch Elimina 
tion lassen sich dann m, X und L auch 
als Functionen von l ausdrücken, und 
die Gleichung gibt dann die gesuchte 
Beziehung zwischen s und l t . 
„Diese Gleichung ist also immer durch 
blosse Quadraturen und Eliminationen zu 
finden.“ 
Beispiele. Das erste Beispiel 
sei der in der Theorie der Zahnräder 
wichtige Fall, wo die Curve B ein Kreis 
ist. Wir wollen den Radius desselben 
gleich r setzen, dann ist: S = rL also 
auch a — rL. Die Gleichungen 3) 4) und 
5) werden also: 
. 
ds~u — J, 
Dividirt man die erstere 
durch die letztere, so kommt: 
Gleichung 
oder: 
sin A 
= cot H, 
1 — cos A 
A 
cot — = cot H, 
d. h. 
t 
II 
to 
7P 
woraus dann folgt: 
u sin - 
k k 
— = P (1 — cos A) = 2p sin — , 
oder: 
0 • * 
u — 2p sin —. 
A 
Vermöge dieser Gleichung und des Wer- 
thes von 
geben die Gleichungen 3) und 4) 
ds = 2p sin — (dX qp dL), 
f(r,L, X) = 0, 
während die Gleichungen 1) und 2) durch 
Einsetzen dieser Werthe die Gestalt an 
nehmen : 
j'da cos X = 
j'da sin X = 
ds 
dX 
da 
ds 
,, — da 
dX-f- — 
( A-z+ v) 
Da a als Function von X gegeben sein 
muss, so enthalten diese Gleichungen 
nur X, l und s geben also nach der Eli 
mination von A die Gleichung zwischen 
l und S. 
Als zweites Beispiel wollen wir 
wozu dann noch wegen 6) kommt: 
7 (?) L ) =0. 
Die beiden letzten Gleichungen reichen 
hin, um aus der ersten L und X zu eli- 
miniren. Ist auch die Curve B ein Kreis 
mit Radius r, findet also der Fall der 
Epicycloide oder Hypocycloide statt, so 
tritt an die Stelle der letzten Gleichung: 
pA = rL 
und man hat: 
also: 
und 
2 + r’ 
A = 
2 rl 
r + 2p