Radlinie. 
Radlinie. 
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Radlinie. 
, so sind die allgemein- 
lationsformeln, wenn s, l 
' die neuen Coordinaten 
±s, l' = k±l, 
diebige Constanten sind. 
s=f(l) 
iner beliebigen Curve, so 
congruenten Curve die 
*' = nn* 
lurch irgend eine Trans- 
der obigen Gestalt sich 
jeben. 
urve derjenigen ähnlich 
e Gleichung s = f{l) hat, 
rleichung sein: 
' = mf(l'), 
lältnisszahl dieser Curve 
gegebene, also constantist. 
4) fanden wir, dass, wenn 
Koordinaten einer Curve 
issen für ihre Evolvente 
,s den Gleichungen: 
L + aL, 1 = L. 
orzeichen von L ist weg- 
isselbe durch eine Coor- 
ormation sich wiederher 
ist die Gleichung der 
¡sehen s und l gegeben 
die der Evolute, deren 
ind l sein mögen, so ist: 
l = S + a. 
= A cos « l, 
nte eine Cycloide, so ist: 
A a sin cd + aR, 
setzen: 
= — S-J-a 
\n 
2« 
für die Evolute: 
= Au cos ul', 
lute irgend einer Epicy- 
rpocycloide ist eine der 
liehe Curve.“ Die Ver- 
st bei den Hypocycloiden 
i den Epicycloiden kleiner 
¡meinen Cycloide gleich 1, 
einer gemeinen Cycloide 
ngruent.“ 
I- 
V, 
Suchen wir jetzt die allgemeine For 
mel für die Evolventen der Cycloide. Es 
ist in diesem Falle zu setzen: 
S = A cos (« l) 
und man hat; 
s — A I cos {«l) dl + al, 
•' 0 
d. h. 
A . , 
s = —r sin ul + a l, 
a 
oder, wenn man: > 
/ - JL — /' s-s'4- 
2« ’ S ~ S + 2« 
einführt; 
i al' - al'. 
d*x _ dy 
dt 2 ds ’ 
cl*y = 
dt 2 
mg 
dx 
R ~ds 
Also wenn man die erstere Gleichung mit 
—, die letztere mit ~ multiplicirt und 
beide addirt, hat man; 
dy / 
- — m ^ 
mg 
dt 
dx d 2 x dy (Py 
dt dt 2 dt dt 
0- 
aber,; 
dx d^x 
dt dt- 
also: 
dy d 2 y 
Yt dP 
~ + dp/ 
d /i/sW 
Jt \dlJ ’ 
Nur der Fall, wo a — 0 ist, gibt eine der 
gegebenen ähnliche Curve. 
Die Curven, welche einem beliebigen 
a entsprechen, kann man als Cycloiden- 
cvolventen bezeichnen. In der Theorie 
der Verzahnung der Hader spielen sie 
eine wichtige Rolle. (Siehe den Artikel: 
Rad.) lieber die weitere Ausführung 
dieses Gegenstandes müssen wir auf die 
Artikel: Evolvente, Trajectorie ver 
weisen. 
5) Mechanische Eigenschaften 
der Cycloi den. 
Wir berühren noch die Eigenschaften 
der gemeinen Cycloide als Tantochrone 
und Brachystochrone. 
Wenn sich ein Punkt von der Masse 
m unter dem Einflüsse der Schwere auf 
einer Curve bewegt, so wirkt auf ihn 
ausser der Beschleunigung der Schwere, 
welche wir mit g bezeichnen, noch der 
Druck der Curve R in der Richtung der 
Normale in derselben. Nehmen wir an, 
dass die Curve sich in einer durch die 
Richtung der Schwere gehenden Ebene 
befinde, dass die Axe der y in der Rich 
tung der Schwere und von oben nach 
unten gerichtet sei, so werden die Co 
sinus der Winkel, welche die. Normale 
mit den Axen der x und der y macht, 
bezüglich sein ^wo s der Bogen 
ist. Es wirkt also nach ersterer Rich 
tung nur die Kraft R nach letzterer 
# CIS 
mg und — R —so dass die Gleichun- 
ds 
gen der Bewegung sind: 
mgdy = ±d (^) , 
woraus sich dann ergibt: 
( ds \ ^ 
¿¡■j -V = 2mg(3/-Uo)> 
wo v 0 die Anfangsgeschwindigkeit, also 
der anfängliche Werth von ^, und y 0 
die Ordinate in diesem Punkte ist. Wir 
nehmen an, dass der Punkt ohne Anfangs 
geschwindigkeit falle und erhalten: 
ds 
dt = 
V2mg(y -y 0 ) 
Sei die Curve nun eine gemeine Cy 
cloide, welche entstanden ist, indem ein 
Kreis mit Radins r unterhalb der hori 
zontal gedachten Axe der x sich rol 
lend bewegt. Damit in diesem Falle l 
derjenige Winkel sei, welchen die Tan 
gente mit der Axe der x macht, kann 
die Gleichung: 
s : 4c cos l 
genommen werden. Wir fanden nämlich in 
Abschnitt 1) unter dieser Voraussetzung: 
4 »■ 
(l-c„ s |) 
und g — n — 2l\ 
es ist also zu setzen : 
s = 4r (1 — sin l) 
und ebenfalls nach Abschnitt 1): 
y = r (1 — cos ft) = r (1 + cos 21), 
woraus sich dann ergibt: 
4c cos l dl 
dt = 
also: 
]/2 mgr (cos 21 — cos 2l 0 ) 
— 2/• cos l dl. 
Ymgr (sin l 0 2 — sin P)'