Radlinie. 
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Radlinie. 
E 
2 / r d sin l 
]/ mg J 1 Vsin l 0 2 — sin 
' 0 
und lässt man den bewegten Punkt bis 
zu dem tiefsten Punkte in der Cycloide 
fallen, so ist l = 0, da in diesem Punkte 
die Curve der Abscissenaxe parallel ist. 
Man hat nun: 
s = 4r cos l 
die Gleichung der Cycloide, so wird l 
der Winkel sein, welchen die Tangente 
mit der Axe der x macht. Die Glei 
chung der Evolute ist dann: 
— — 4r sin l = 4r cos V, 
dl 
wo 
2 f 
V mg 
oder wenn 1=0 ist: 
/ . sin l n \ 
I arc sin -v—7 „ I, 
\ sin f 0 2 / 
l = 
mg 
Dieser Ausdruck für die Fallzeit ist völlig 
unabhängig von l 0 und somit wird der 
bewegte Punkt, von welcher Stelle der 
Cycloide aus er auch zu fallen beginnt, 
immer zu gleicher Zeit im tiefsten Punkte 
anlangen. Bei Pendelschwingungen wird 
dieselbe Zeit die beim Falle bis zum 
tiefsten Punkt vergeht, auch bis zum 
Steigen nach dem höchsten Punkte auf 
der andern Seite hin stattfinden, und 
somit ist die Cycloide in der That eine 
Tautochrone, d. h. diejenige Curve, auf 
welcher ein Punkt (mit Vernachlässigung 
der Reibung und des Luftwiderstandes) 
Pendelschwingungen macht, deren Schwin 
gungsdauer ganz von der Schwingungs 
weite unabhängig ist. Huyghens, der 
diese Eigenschaft fand, wollte durch deren 
Anwendung auf Uhrpendel einen ge- 
naureen Gang derselben bezwecken. In- 
dess bediente er sich nicht etwa eines 
schweren Punktes der an einem Faden 
befestigt, sich innerhalb einer cycloidi- 
schen Rinne bewegt, sondern er wandte 
die Betrachtungen des vorigen Paragra 
phen an. Ist 
V = 
Z 
ist. Es wird also die Erzeugungslinie 
dieser Cycloide auf die der Evolvente 
senkrecht gerichtet sein. 
Die allgemeine Evolvente einer Cy 
cloide hatte die Gleichung: 
s = 4r sin / + a l 
wenn 
S = 4r cos l 
die Gleichung der Evolute war. Soll 
erstere wieder eine Cycloide sein, so ist 
a d. h. die Entfernung der Punkte der 
Graden, welche die Evolvente beschreibt, 
vom Anfangspunkte der Bogen S gleich 
Null zu setzen. 
Da nun S = 0 für l=~ ist, und 
A 
/ = — dem Punkte der Cycloide ent 
spricht, wo zwei Zweige Zusammentreffen, 
so muss man von diesem Punkte aus die 
Abwickelung beginnen lassen, und den 
jenigen Punkt in welchen sich zu Anfang 
der Bewegung Grade und Cycloide be 
rühren zur Beschreibung der Evolvente 
bestimmen. Diese Bedingungen (Fig. 69) 
werden erfüllt, wenn wir uns die beiden 
halben Zweige einer Cycloide BA und 
AC, welche in A sich berühren, in der 
Vertikalebene so gelegt denken, dass die 
Fig. 69. 
Tangente in i 
höchste Punkt i 
eher zu Anfang 
rührt, wird dan 
sich pendelförir 
Endpunkt D d: 
und zwar die ( 
schreibt. Ist B 
wird also ebenf 
des Pendels AI 
gungs weite uni 
Art der Yerbesi 
terte indess an 
von biegsamen 
sorgfältiger Anf 
Sch wingungs weil 
Kreispendel voll 
Was die Eige: 
Brachystochrone 
selbe folgende . 
Punkt bewege 
Punkte A nach 
Einfluss der Sei 
aul einer Curve. 
letztere sein, da 
möglichst kurzer 
— Sei die Anfai 
gleich v 0 , so mi 
wird also ein Mi 
die Coordinaten 
x l , y v die von B 
ds ~ dx 2 - 
so ist: 
Y dx 1 
=/; 
X n V 1 + 1 
Bilden wir die 1 
indem wir x um 
Artikel ; Variatio 
dt 
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' X 0 y dx 1 + 
aber durch theilv