Raumgrösse. 
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Raumgrösse. 
wieder ein Körper entsteht, ist ebenfalls 
als Postulat zu nehmen, und möchten 
wohl alle Versuche, diese höchst wich 
tige Eigenschaft des Baumes aus dem 
Begriffe der Ausdehnung ahzuleiten, voll 
ständig scheitern. — Aus diesen Be 
trachtungen folgt auch leicht, dass ein 
Körper von Flächen, eine Fläche von 
Linien, eine Linie von Punkten begrenzt 
sei, wogegen der umgekehrte' Weg, der 
in den Anfangsgründen der Geometrie 
oft eingeschlagen wird, und wonach man 
Flächen als die Grenzen von Körpern. 
Linien als die Grenzen von Flächen, 
Punkte als die Grenzen von Linien de- 
finirt, zu weniger genauen Vorstellungen 
gelangen lässt, namentlich was die Aus 
dehnungen des Baumes anbetrifft, und 
möchte unter beiden Wegen der hier 
eingeschlagene den Vorzug verdienen. 
Der Begriff der Congruenz, der oben 
entwickelt wurde, führt leicht auch zu 
dem Begriffe der Baumgleichheit. Wir 
nennen zwei Gebilde (Linien, Flächen, Kör 
per) nämlich raumgleich, wenn deren jedes 
aus Aneianderreihung von Stücken ent 
standen gedacht werden kann, welche 
entsprechend den Stücken des andern 
Gebildes congruent und an Anzahl gleich 
sind, ohne dass hierbei die Anordnnng 
dieselbe zu sein braucht. Auch können 
diese Stücke gegen das ganze Gebilde 
unendlich klein gedacht werden (wie 
z. B. ein Kreis und eine Ellipse raum 
gleich sein können, beide aber nur dann 
als aus entsprechend congruenten Drei 
ecken zusammengesetzt gedacht sein kön 
nen, wenn man die in der Peripherie 
liegenden Grundlinien dieser Dreiecke 
sich unendlich klein denkt). Mit diesen 
Begriffen und Definitionen kann man 
'sich in der Geometrie begnügen, um 
darauf die Kenntniss und die Eigen 
schaften der Kaumgrössen zu bauen. 
Raumgrösse. 
Linien, Flächen und Körper, mit deren 
Entstehung wir uns im vorigen Artikel 
beschäftigt haben, sind fähig vermehrt 
oder vermindert zu werden. Sie sind 
also Grössen und können also als Baum- 
grossen bezeichnet werden. Ausser diesen 
sind auch die Winkel Kaumgrössen. 
Diese vier Arten von Grössen kommen 
allein in der Geometrie vor. 
Es soll hier dasjenige von ihren Eigen 
schaften entwickelt werden, was zum Be 
ginn des Studiums der Geometrie noth- 
wendig ist. — Sprechen wir zuerst von 
den Linien. — Die Linien entstanden 
nicht allein aus der Bewegung eines 
Punktes, sondern die vorauszusetzenden 
Eigenschaften des Baumes brachten es 
auch mit sich, dass die Linien selbst 
beweglich seien. Bei jeder solchen Bewe 
gung geht eine Linie in eine andere 
über. Wir können aber bei diesen Ueber- 
gängen zwei verschiedene Arten unter 
scheiden. Entweder die neu entstandene 
Lin/e geht aus der alten durch eine Be 
wegung hervor, in welcher alle Punkte 
dieselbe Beziehung zu einander behalten 
wie bei der letztem, also sich nur der 
absolute Kaum, den sie einnimmt ändert; 
man sagt dann, dass beide Linien sich 
nur in der Lage unterscheiden, und dass 
sie sich decken. Oder diese Beziehung 
ist nicht in allen Punkten dieselbe; man 
sagt dann, dass die Linien bei der Be 
wegung eine Formänderung erlitten habe, 
und beide Linien unterscheiden sich nicht 
allein durch die Lage, sondern auch 
durch die Form von einander. 
Betrachten wir, von diesem Prinzipe 
ausgehend, jetzt zwei gegebene Linien 
A und B. Diese Linien können entwe 
der so beschaffen sein, dass die eine A 
durch Aenderung der Form und Lage 
in die andere B übergeht; man sagt 
dann: „beide Linien sind gleich,“ — oder 
ihre Beschaffenheit ist derart, dass dies 
nicht der Fall ist, und es ist dann selbst 
verständlich, dass jedenfalls die eine, die 
A sein möge, durch Aenderung der Form 
und der Lage in einen Theil von B 
übergeht, und man sagt dann: „die 
Linie A ist kleiner als B, B grösser als 
A. u — Leicht ersichtlich ist es hiernach, 
was es heisse B sei 2, 3mal so gross 
als A, wenn man überlegt, dass auch 
durch Aenderung der Form und Lage A 
in den noch übrig bleibenden Theil der 
Linie B übergehen kann, in welchem 
Falle B 2 mal so gross ist als A u. s. w. 
Es kann also jede Linie als Maass einer 
andern betrachtet, und somit jede Linie 
gemessen werden. Unter den Linien 
sind namentlich die graden Linien her 
vorzuheben. Für grade Linien hat man 
verschiedene Definitionen. Die beiden 
gebräuchlichsten sind: — 1) die grade 
Linie ist eine solche, welche in allen 
ihren Theilen dieselbe Bichtung hat, — 
2) die grade Linie ist die kürzeste zwi 
schen 2 Punkten. Gegen die erste .De 
finition möchte einzuwenden sein, dass 
eben der Begriff der Bichtung erst durch 
den der graden Linie in uns entsteht, 
d. h. dass wir eben 2 Linien gleich ge 
richtet nennen, wenn sie in einer graden 
liegen. (Man müsste dann den parallelen 
Linien, wie allerdings oft geschieht, auch, 
gleiche Bichtung zuschreiben, was jeden 
falls, wenn man die Sache genau über-