Raumgrösse. 
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Raumgrösse. 
Raui 
II. Durch eine grade Linie und einen 
Punkt, der nicht in ersterer liegt, (oder 
was dasselbe ist, durch drei Punkte, die 
nicht in einer Graden liegen) lässt sich 
stets eine und nur eine Ebene legen. 
Bei der eben beschriebenen Bewegung 
muss die Ebene nämlich einmal in eine 
Lage kommen, wo sie einen beliebigen 
Punkt in sich aufnimmt. Selbstverständ 
lich sind diese Auseinandersetzungen in 
I. und II. nicht als Beweise zu betrach 
ten. Sie gehen eben nur diejenigen 
Eigenschaften des Raumes, welche man 
in den Anfängen der Raumlehre mit 
Bezug auf die Ebene voraussetzen muss. 
Jede nicht ebene Fläche heisst krumm. 
(Man kann auch gebrochene und ge 
mischte Flächen, welche ähnlich wie die 
entsprechenden Linien zu definiren sind, 
von den krummen absondern.) 
Eine neue Art der Raumgrössen ist 
der Winkel. Wir sprechen hier nur von 
Winkeln zwischen Linien. Winkel zwi 
schen Ebenen und Winkel zwischen einer 
Linie und einer Ebene werden in der 
Körperlehre oder Stereometrie auf Winkel 
zwischen Linien zurückgeführt. 
Von der gewöhnlichen Definition der 
Winkel: „Ein Winkel ist der Unterschied 
in der Richtung zweier Linien“, glauben 
wir als einer nicht klaren absehen zu 
müssen. Eben durch den Winkel den 
zwei Linien machen, kommt uns zum 
Bewusstsein, dass sie ungleich gerichtet 
sind. Wir messen den Unterschied ihrer 
Richtung eben durch den Winkel, wel 
chen sie machen, und ist uns nicht ein 
leuchtend, wie man ohne diese Messung 
vorher vornehmen zu können, von einem 
grossem oder kleineren Unterschied der 
Richtung sprechen will. Ueberhaupt 
scheint es nothwendig bei der Definition 
der Winkel die Ebene zu Hülfe zu neh 
men. Man kann nämlich einen Winkel 
nur messen oder theilen, wenn man zwi 
schen seinen Schenkeln und zwar in 
deren Ebene sich andere Linien gezogen 
denkt, so dass nothwendig die Ebene 
eine Stelle in der Definition des Win 
kels finden muss. Um eine solche zu 
geben, scheinen uns folgende Betrach 
tungen nöthig zu sein. 
I. Eine grade Linie kann ihre Lage 
derart verändern und zwar auf unend 
lich viel Arten, dass sie in einer Ebene 
bleibt und ein Punkt derselben A seine 
Lage nicht ändert. 
II. Setzt man diese entsprechende Be 
wegung der Graden in dieser Weise 
fort, so kommt die grade Linie schliess 
lich in ihre frühere Lage zurück. 
Das Letztere muss als Voraussetzung 
angenommen werden, und lässt sich nicht 
beweisen, sondern führt immer auf die 
Anschauungen, welche uns mit dem 
Raume zugleich gegeben sind, zurück. 
Bei dieser Aenderung der Lage denkt 
man sich die Grade vom festen Punkte 
A aus nach einer Richtung ins Unend 
liche verlängert; die Bahn, welche die 
Grade bei einer solchen Bewegung be 
schreibt, nennen wir Winkel. 
Ein Winkel lässt sich also auch de 
finiren als ein Theil einer Ebene, wel 
cher begrenzt ist von zwei Graden, die 
sich in einem Punkte A schneiden, und 
von diesem ans nach einer Richtung hin 
ins Unendliche verlängert gedacht wer 
den. Der Punkt A heisst Spitze oder 
Scheitelpunkt, während die begrenzenden 
Linien Schenkel genannt werden. Ein 
Winkel ist also nicht vollständig be 
grenzt. 
„Wird die Bewegung der Linie so lange 
fortgesetzt, bis sie in ihre frühere Lage 
zurückfällt, so nennen wir den entste 
henden Winkel einen vollen.“ — Dass 
Winkel Grössen sind, wird bewiesen, 
wenn man zeigt, dass dieselben der Mes 
sung fähig sind, und kann dies auf fol 
gende Weise geschehen. 
Zwei Winkel P und Q können offen 
bar so auf einander gelegt werden, dass 
je ein Schenkel und die Scheitelpunkte 
zusammenfallen. Decken sich hierbei auch 
die andern Schenkel so werden die 
Winkel gleich genannt. Geschieht dies 
nicht, so wird der eine Winkel P den 
andern Schenkel des Winkels Q in sich 
enthalten und man sagt dann: Winkel P 
sei grösser als Q. In diesem Falle ist 
ein Theil von P gleich Q. Sonach lässt 
sich jeder Winkel theilen, indem man 
vom Scheitelpunkte aus Linien zwischen 
seinen Schenkeln gezogen denkt. Es ist 
somit auch klar, was die Hälfte, der vierte 
Theil u. s. w. eines Winkels sei. Zu 
dem Folgenden ist ein Satz, der an sich 
klar ist, nöthig: 
I. Zwei volle Winkel sind gleich. 
Es fallen nämlich die beiden Schenkel 
eines jeden von ihnen zusammen, und 
somit decken sich dieselben, da ja jede 
zwei Graden sich decken. 
Es ergeben sich hieraus folgende De 
finitionen : 
„Die Hälfte eines vollen Winkels heisst 
gestreckter, die Hälfte eines gestreckten 
rechter Winkel. Jeder Winkel, der klei 
ner als ein rechter ist, spitzer, der grösser 
als ein rechter und kleiner als ein ge 
streckter ist, stumpfer, jeder der grösser 
als ein stumpfer und kleiner als ein 
voller Winkel ist, erhabener oder con 
vexer Winkel, w 
kleiner als ein ges 
oder concaver Wi 
Aus Satz I. folg 
II. Jede zwei g 
gleich. — Jede zv 
gleich. — Aussei 
der folgende Satz 
III. Die Schei 
Winkels bilden ein 
wegt man die grad 
in ihrer Ebene, dt 
lange, dass sie ir 
die mit B in ei 
setzt die Bewegur 
frühere Lage ko 
BAB in zwei and 
F 
getheilt. Diese s 
Graden BDAC ur 
und folglich aucl 
derselben ist also 
und mithin ein ge 
Hieran ist no< 
knüpfen: „Wenn 
Winkel in zwei T 
dieselben Nebenw 
folgt dann sogleic 
IV. Zwei Nebe 
beide rechte, odei 
der andere ein s 
betragen sie zusai 
oder zwei rechte 1 
Mit diesen De 
wäre dass für d 
Geometrie in Bezu 
Nothwendige geg 
hieran noch ein 
knüpfen, die nam 
begegnen sollen, 
Theilen der Geom 
treten. 
In dem man die 
als das erste Eiei 
betrachtet, auf w 
zurückführen kan: 
der Theorie der 
anlasst zu der An 
che Linie in ihren 
der graden annä 
dass ein sehr klei