Raumgrösse. 
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Raumgrösse. 
geometrischen Betrachtungen ausgeschlos 
sen werden. Von der Nothwcndigkeit 
dieser Ausschliessung überzeugt man sich 
wohl am leichtesten auf folgende Weise. 
Jede Linie, die in der Geometrie be 
trachtet wird, muss durch irgend ein 
Gesetz gegeben sein, welches man auf 
eine Bewegung zurückführen kann. Jede 
Bewegung aber lässt sich schliesslich 
zurückführen auf fortschreitende und 
drehende Bewegungen. Die ersteren ge 
ben grade Linien, die letzteren Kreise. 
Ist nun das Bewegungsgesetz zugleich, 
einzelne Punkte höchstens ausgenommen, 
ein Continuirliches, wie dies ja sein 
muss, da sich sonst nicht ein allgemeiner 
Ausdruck für dasselbe finden liesse, so 
muss die Linie durch Aneinanderreihung 
continuirlich aus einander entstehender 
graden Linien und Kreise sich bilden 
lassen, und kommt es dann eben nur 
darauf an, zu zeigen, dass die Theile 
einer Kreislinie sich einer graden annä 
hern, wenn sie an Grösse ahnehmen. 
Dies aber hat keinerlei Schwien’gkeit 
und wird in dem die Kreislinie behan 
delnden Theil der Raumlehre ausgeführt. 
Eben so einfach ergibt sich dies Prinzip, 
wenn man annimmt, dass die Curven 
nur der Betrachtung unterliegen, welche 
durch eine Gleichung zwischen gradlini 
gen Coordinaten (siehe den Artikel: „ana 
lytische Geometrie“) gegeben sind. Da 
die grade Linie selbst eine lineare Glei 
chung zwischen den Coordinaten voraus- 
setzt, jede beliebige Gleichung, welche y 
als Function von x gibt, aber als linear 
betrachtet werden kann, wenn x und y 
unendlich klein sind (es folgt dies näm 
lich aus den Grundsätzen der Differen 
zialrechnung oder dem Taylorschen Satze. 
Vergleiche den Artikel: Quantitäten), 
einzelne Werthe von y höchstens aus 
genommen, so folgt die Eigenschaft der 
krummen Linien, sich continuirlich an 
grade anzuschliessen, einfach aus dem 
Continuitätsprinzipe. Wir fügen hier noch 
hinzu, dass Aehnliches von den krummen 
Flächen in ihrem Verhältnis zu den 
Ebenen gilt, und in gleicher Weise zu 
entwickeln ist. Die Ausführung dieser 
Betrachtungen, welche geometrische 
Kenntnisse voraussetzt, bleibt indessen 
den Artikeln: Rectification, Tangente 
überlassen. 
Raumgrössen (positive und ne 
gative). 
Die Berücksichtigung der Vorzeichen 
bei Raumgrössen ist bekanntlich von 
grosser Wichtigkeit. Sie macht es mög 
lich Resultate, die durch Rechnung sich 
auffinden lassen, in aller Allgemeinheit 
durch eine einzige Formel zu geben, 
welche sonst in eine Anzahl, oft in eine 
sehr grosso Anzahl, einzelner Fälle aus 
einanderfallen, und einen ganz besonde 
ren Aufwand von Rechnung nothwendig 
machen würde. — Jedoch ist die Rich 
tigkeit von dergleichen Betrachtungen 
um so mehr zu begründen, als sie vielen 
Geometern derartige Schwierigkeiten zu 
machen scheinen, dass man sehr aus 
führlicher Auseinandersetzungen zu de 
ren Ueberwindung für nothwendig ge 
halten hat, wie dies z. B. in Carnots: 
Géométrie de position durch lange Be 
trachtungen geschehen ist, welche die 
Berücksichtigung der Vorzeichen ersetzen 
sollen. — Gehen wir beispielsweise von 
Linien aus, so 'möchte allerdings fest 
stehen, dass eine begrenzte Linie an sich 
weder positiv noch negativ sei, wie auch 
ihre Lage beschaffen sei. Zwischen den 
Theilen der Linie A C, BC' undRC(Fig. 77) 
Fig. 77. 
■ B 
A C C" ' C 
macht sich durchaus kein Gegensatz gel 
tend, und was die Linien BC und CB 
anbetrifft, so sind ja diese vollständig 
identisch, und um so weniger hier ein 
Gegensatz vorhanden. Letzterer aber 
tritt ein, wenn wir die Linie als Entfer 
nung des Anfangspunktes vom Endpunkte 
oder wie wir uns hier ausdrücken wollen, 
um einen auch auf Flächen und Körper 
übertragbaren Ausdruck zu haben, als 
ihren Zwischenraum betrachten. Wir 
wollen dies hier etwas genauer zu be 
gründen suchen. 
I. Unter Zwischenraum zweier Punkte 
A und ß, welche auf einer gegebenen 
(graden oder krummen) Linie liegen, ver 
stehen wir den zwischen ihnen befind 
lichen Theil dieser Linie mit der Maass 
gabe, dass der Zwischenraum zugleich 
angibt, welchen Punkt man als Anfangs 
punkt und welchen als Endpunkt des 
selben betrachtet. Es sind also die 
Zwischenräume AB und BA nicht iden 
tisch, da der erstere die von A nach B 
führende Strecke, der letztere die von 
B nach A führende angeben soll. 
II. Die Zwischenräume zweier Punkte 
auf Linie AC sind entweder gleich ge 
richtet mit AB oder mit BA, z. B. AC,