Raumlehre. 
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Raumlehre. 
Raum 
eines Systems anbetrifft, als dessen Ur 
heber za betrachten. 
Was die Euklidische Methode anbe 
trifft, welche auch in den übrigen mathe 
matischen Wissenschaften nachgeahmt 
worden ist, so darf sie nicht mit der 
mathemathischen Methode überhaupt iden- 
tiflcirt werden. Wenn die letztere darin 
besteht, dass jede yorgetragene Wahr 
heit in strengerWeise und in deductiver 
Auseinandersetzung auf Früheres zurück 
zuführen ist, so pflegt man unter Eukli 
discher Methode die eigentümliche äus 
sere Form, deren sich aus guten Grün 
den Euklid hierbei bediente, zu verstehen. 
Es wird die Euklidische Methode auch 
oft als geometrische Methode bezeichnet, 
und auch sie ist mit mehr oder weniger 
Glück auf verschiedene Wissenschaften 
nicht bloss mathematische, sondern auch 
philosophische, selbst technische über 
tragen worden. Das Wesen dieser Me 
thode lässt sich w'ohl in kurzer Weise 
so definiren : „dass die einzelnen Wahr 
heiten ans denen das System besteht, 
nicht in fortlaufendem Vorträge gegeben 
werden, sondern in viele kleine Theile, 
die immer der Form nach in gewisser 
Weise ein Ganzes bilden, und jeder eine 
Wahrheit enthalten, aus einander fallen.“ 
Ein solcher Theil ist entweder ein Lehr 
satz (Theorem), wenn er eine neue be- 
merkenswerthe Eigenschaft der Grössen, 
von welchen die Wissenschaft handelt, mit 
theilt, oder eine Aufgabe (Problem), wenn 
es darauf ankommt, die schon gegebenen 
Wahrheiten und Erkenntnisse zur Errei 
chung gewisser Zwecke zu verwenden. 
Der Lehrsatz verlangt stets einen 
Beweis, die Aufgabe eine Auflösung, 
und letztere wieder einen Beweis. Beide 
letztere sind derart aus einander zu hal 
ten, dass die Auflösung eben die Mittel 
giebt, welche zur Erreichung des Zweckes 
nothwendig sind, und alle Begründung 
des Verfahrens dem Beweise überlassen 
bleibt. 
Was die Beweise anhetrifft, so gibt es 
von denselben zwei Hauptarten, den 
directen und den indirecten. Der erstere 
geht von irgend einem passenden An 
fangspunkte aus, und führt uns auf de- 
ductivem Wege allmälig zur Richtigkeit 
des in Rede stehenden Satzes, der letz 
tere setzt das Gegentheil des zu bewei 
senden Satzes voraus, und zeigt dann 
aus früheren Sätzen, dass diese Annahme 
zu einem Widerspruche führt. — Der 
indirecte Beweis also verlangt jedenfalls, 
dass der zu beweisende Satz zuerst ge 
nannt werde. Der directe Beweis kann 
seiner Natur nach vor dem Beweise ge 
nannt werden, oder zuletzt als Resultat 
der Constructionen und Deductionen ge 
geben werden. In der Euklidischen Me 
thode wird immer der erstere Weg ge 
wählt. In neueren Lehrbüchern geht 
man hiervon zuweilen ab (jedoch ist auch 
im Euklid die Möglichkeit hierzu durch 
die Form des Scholion gegeben). Die 
Reihenfolge, welche Euklid befolgt, ist 
dann immer die beste, wenn der Beweis 
complicirt ist, Aufwand an Construction 
und Anknüpfung an verschiedene Sätze, 
die vorher gegeben sind, erfordert. Es 
bildet bei alle diesem der vorher ange 
führte Satz gewissermaassen das natür 
liche Band, zu dem als Zielpunkt diese 
Beweismittel hinstreben, welche ohne 
Kenntniss dieses Zweckes als zufällig 
und in der Luft schwebend erscheinen 
würden. Ist dagegen der Beweis nur 
einfach und knüpft auf ungezwungene 
Weise an vorhandene Sätze sich an, so 
ist es vielleicht besser, wie ja auch jetzt 
namentlich in den hohem Theilen der 
Geometrie und Mathematik im Allge 
meinen häufig geschieht — die Beweis 
mittel in Form einer Betrachtung an den 
vorher gegebenen Satz, auf welchen sich 
der neue stützt, auzuknüpfen und dann 
eben diesen neuen Satz folgen zu lassen. 
Es gelingt so namentlich auch oft, in 
kürzerer Weise mehrere Sätze durch 
dieselben Beweismittel abzuleiten. 
Man kann also sagen, dass von der 
Euklidischen Methode desto mehr abge 
gangen werden muss, je mehr das Sy 
stem an Einfachheit und Natürlichkeit 
mit dem Fortschreiten der Wissenschaft 
gewinnt. — Erforderniss eines guten Be 
weises ist möglichste, Kürze und Durch 
sichtigkeit. Es wird dies namentlich er 
reicht durch passende Aufeinanderfolge 
der Sätze, die Beziehung auf mehrere 
schon gegebene kürzt oft den Vortrag 
sehr ab. 
Was dagegen die Auflösungen der 
Probleme anbetrifft, so ist bei einer gu 
ten Auflösung nicht allein erforderlich, 
dass dieselbe sich kurz mittheilen, son 
dern, dass sie sich auch in möglichster 
Kürze ausführen lasse. Letzteres ist 
nun nicht der Fall, wenn man dieselbe 
auf Lösung mehrerer früheren Aufgaben 
zurückführt, da ja jede eine neue Con 
struction nöthig macht, und es oft mög 
lich ist, besondere Erleichterungen ein 
zuführen, wenn man diese als ein Ganzes 
zusammenfasst. Es werden dann näm 
lich gewisse Linien, welche eine Con 
struction erfordert, in einer vorangegan 
genen schon gegeben sein können. Billig 
sollte also eine Auflösung sich bestreben, 
dies anzugeben, nnc 
das beabsichtigte / 
sich erreichen lasse 
muss die Aufgabe i 
lösung genannt sei 
man statt der letztei 
zu lassen, derselbe 
voranschicken, weh 
Erreichung des Ziele 
Betrachtungen mach 
quem, wenn man die 
gelöst annimmt, ur 
zurückgehend Bezieh 
jenigen Grössen, wel 
denen ermittelt, welch 
verbinden lassen. Dii 
nen die griechischen 1 
metrische Analyse. ‘ 
in der Algebra zu 
unbekannten Grösse 
kannt angenommen 
von ihnen ausgehem 
reichen sucht. Gcv 
Umkehrung der Ans 
Auflösung. Wenn 
noch einen Beweis f< 
dies streng genomr 
die Analyse ja schoi 
gründen muss. 
An die Haupttheile 
satz und Aufgabe 
nachfolgende Neben 
sehen Systeme. 
Das Axiom oder 
Satz, der keines B( 
keines Beweises fähij 
der Fall bei den eil 
welche den Anfang 
oder im besondern 
Grunde liegen. Der 
sind z. B. die : 
„Der Raum hat 3 
„Zwischen zwei Pu 
immer möglich.“ 
Gewöhnlich rechn 
die rein logischen St 
heit, die in der Matl 
Wendung finden. 
Zwei Grössen, die 
sind, werden unter e 
Das Ganze ist gle 
ner Theile. 
Gleiches zu Gleicht 
solchem abgezogen f 
Indessen mag ma 
aus der Definition dt 
können: 
„Zwei Grössen wei 
wenn man die e 
setzen kann.“