DÉVELOPPEMENTS EN SÉRIE. 
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88. Les nombres B t , B 2 , . . . portent le nom de nombres 
de Bernoulli. Ils se rencontrent dans une foule de questions 
d’Analyse. Ils ont, en particulier, une liaison intime avec les 
sommes de puissances des nombres entiers. 
Pour établir cette relation, posons 
y — e x H- e %x -h... 4- 
On aura 
y{a) __ 2 a e^ x + . . . 4- {/1 — 
et pour x — o 
(ji“)) 0 =:i»+ 2“4~. . .+ {n — l) a . 
Mais on a d’ailleurs 
y 
e* — i x e x — i 
n % x % 
I . 2 
I — 
x B,x 2 B. 2 x'* 
X \ 2 1.2 1.2.3.4 
== A 0 h- ..4- A a x a ^~. . ., 
en posant 
A a 
B, 
i.2...(a h- i ) 2 1.2...a 1.2 1.2...(a — y 
On aura donc 
i® 4- 2“ 4- . . . 4- (/i — x) a =Z ( y(*i ) 0 i . 2 . . . a A a 
B. 
B 2 
—-/i“4 -an a ~ l n , 
«4-1 2 1.2 1.2.3-4 
a(a — i)(a — 2)/i“~ 3 4- 
89. Soient y = \fû et u — u, + B, 
u { r= A.r“ 4- A'#“' 4-... 
étant une valeur approchée de u. On aura 
\JiC — \J— - “ 
R 
y/a4~v/“i V « 4“ V /?< i