DÉVELOPPEMENTS EN SÉRIE. 
de M? 
sullant 
mes de 
en M? 
nation 
equa- 
fonc- 
rinci- 
nous 
, la 
qua- 
dant 
qui 
pale 
m- 
9 3 
dants Mi seront les racines d’une équation algébrique de 
degré <r. Soient M, une de ces racines, r, son degré de 
multiplicité; on aura dans l’équation q, groupes de r, ra 
cines égales. Donc 
< r - 
et, par suite, 
qq^'y^n. 
98. Posons maintenant 
d’où 
x 1 = x\', y 1 = M t x^ + y 2 , 
x — xfl', y — M xPV 1 4- M t xP' + y 2 • 
On aura une nouvelle équation eny 2 , que l’on traitera comme 
la précédente. 
Continuant ainsi, on obtiendra, pour l’une quelconque 
des racines de l’équation proposée, un développement de la 
forme 
y — MXMi»r-+ MjX^^-4- M 2 X^-4-. - - , 
en posant 
Le produit qq\q2* • • oc pourra d’ailleurs surpasser n, 
quelque loin que l’on pousse le développement. 11 arrivera 
donc nécessairement un moment à partir duquel les entiers 
qii Çi+\i ... se réduiront à l’unité. Il existe donc une quan 
tité X, puissance fractionnaire de x, telle que le développe 
ment de y suivant les puissances de X, prolongé aussi loin 
qu’on le voudra, ne renferme que des puissances entières, 
x 
Soit d’ailleurs X = x 9 . L’équation 
f{x,y)=o 
pourra s’écrire 
/№/) = o. 
Elle ne change pas si l’on y remplace X par OX, 0 étant 
l’une quelconque des racines p lème3 de l’unité. Donc la racine q, 
que nous avons développée suivant les puissances de X, fera