DÉVELOPPEMENTS EN SÉRIE. 
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L’équation (5) pourra donc se mettre sous les deux formes 
suivantes : 
y>n) =0, 
•••/(#> *)») =0. 
Multipliant par N m M /i pour chasser les dénominateurs, il 
viendra 
(6) o = M w <p{x, jj)... = N'«/0,-/h).. ./(a?, r, re ). 
On voit, par cette double forme donnée au premier membre 
de l’équation finale (6), que son premier membre est une 
fonction entière, d’une part par rapport aux coefficients N, 
N,, ... de la fonction cp, d’autre part par rapport aux coeffi 
cients M, M,, ... de la fonction f. C’est donc une fonction 
entière de x. 
Pour obtenir sous forme explicite le premier membre de 
cette équation, il suffira de calculer son développement sui 
vant les puissances descendantes de x, par les règles qui ont 
été exposées. Pour cela, on calculera d’abord les développe 
ments des racines y,, . , ., y ri , puis ceux des fonctions en 
tières M", cp(x,y t ), . .., f(x,y m ), et enfin celui de leur 
produit. Gomme d’ailleurs on sait d’avance que ce produit 
est un polynôme entier en x, on arrêtera le développement 
aux termes de degré zéro. 
Ce procédé de formation de l’équation finale serait assez 
compliqué, mais il permet de reconnaître facilement son de 
gré. Il suffira pour cela de calculer le premier terme de 
l’équation. 
On peut reconnaître, par un procédé analogue, si l’équa 
tion finale a une racine nulle, et assigner son degré de multi 
plicité. Il faudra pour cela chercher le premier terme du dé 
veloppement de son premier membre suivant les puissances 
croissantes de x. 
2° Soit Jl K x^y)~o une courbe algébrique. On pourra étu 
dier l’allure de ses branches infinies en développant les di-