q8 PREMIÈRE PARTIE. — CHAPITRE III. 
moyen de la formule qui donne log(i + ¿r). Mais le terme 
a log# par lequel commence le développement de log u sera 
irréductible avec ceux qui le suivent. 
104. Les divers développements que nous avons obtenus, 
étant limités à un certain nombre de termes, donneront tou 
jours une valeur approchée de la fonction qu’on développe 
lorsque x sera suffisamment petit (ou suffisamment grand si 
les puissances de x vont en décroissant). 
En les prolongeant indéfiniment, on obtiendra des séries 
infinies. Si ces séries sont divergentes, elles n’ont aucun sens. 
Mais Cauchy a signalé ce fait remarquable que, même en étant 
convergentes, elles peuvent ne pas être égales à la fonction 
qui leur donne naissance. 
Considérons, à cet effet, la fonction /(#) = e x . Ses déri- 
vées successives sont une somme de termes de la forme — e x • 
Cela se voit immédiatement sur la dérivée première, et l’on 
vérifie non moins facilement que la dérivée d’un semblable 
terme se compose de deux termes de cette forme. 
Ces dérivées s’annulent toutes pour x = o, car, en posant 
i 
— = z, on aura 
x 
a 
x“ e z 
quantité dont la limite est nulle pour x = o, d’où z = oo . 
La série-de Maclaurin 
/(o) + #/'(o) 
prolongée indéfiniment, sera donc convergente, tous ses 
termes étant nuis. Mais elle est égale à zéro et non à /(#). 
Il est donc nécessaire, pour reconnaître si une fonction est 
développable en série infinie par la formule de Maclaurin, 
d’étudier le reste R„ et de s’assurer qu’il tend vers zéro quand 
u augmente indéfiniment. C’est ainsi que nous avons procede 
pour développer (i -h x) m , log(i -1- x), . . .