DÉVELOPPEMENTS EN SÉRIE. 
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Pour qu’une semblable série soit convergente, il faut et il 
suffit évidemment qu’en prenant n suffisamment grand on 
puisse faire en sorte que la partie réelle a et la partie imagi 
naire ¡3 de la somme u n+{ + . . . + u„ +p soient toutes deux 
plus petites que toute quantité donnée, et cela pour toute va 
leur de p. 
S’il en est ainsi, le module \Ja 2 -f- (3 2 de cette somme pourra 
lui-même être rendu inférieur à toute quantité donnée. Ré 
ciproquement, si n peut être choisi de telle sorte que ce mo 
dule soit, pour toute valeur de p, inférieur à e, a et [3 seront, 
a fortiori, inférieurs à s, et la série sera convergente. 
120. Gela posé, soient respectivement U), U 2 , - • ■ les mo 
dules des termes U\, u 2 , ... ; nous formerons la série 
s = u 1 + u 2 + .... 
Si cette série est convergente, la série s le sera. 
En effet, on peut choisir n assez grand pour que l’on ait 
U /i+1 +.. • ■+- <C 
et, a fortiori, 
mod ( u n+l -h... H- u,i+ P ) < £ - 
Nous dirons qu’une série est absolument convergente 
lorsque la série des modules de ses termes est convergente. 
121. Théorème. — On n’altère pas la valeur d’une sé 
rie absolument convergente en changeant l’ordre de ses 
termes. 
Soit s = ii\ —iio —H • • • la série donnée. Changeons l’ordre 
de ses termes, et prenons dans la nouvelle série s' un nombre 
de termes suffisant pour qu’on y retrouve les n premiers 
termes de s. Soient s n la somme de ces termes, cr celle des 
termes que l’on a dû prendre dans la série s'. Cette dernière 
se composera : 
i° Des termes de s n ; 
a° De quelques-uns des termes suivants, tels que u a , u^, —