PREMIÈRE PARTIE. 
CHAPITRE III. 
somme de la série une expression de la forme M + Ni, M 
étant quelconque. 
On voit par cet exemple combien il est nécessaire de n’ef- 
fectuer sur une série aucune opération sans en avoir démon 
tré la légitimité. 
12o. Nous terminerons ces considérations sur les séries 
dont les termes sont des quantités numériques en démontrant, 
d’après Abel, le théorème suivant : 
Théorème. — Soient 
(1) +«! + ••• 
(¿ne série convergente et oq, a 2 , . - • des quantités quel 
conques telles que la série 
moda t -+- mod(aj — a 2 ) H- mod(a 2 — cc 3 ) + . . . 
ait une limite finie s. La série 
(2) a l «I + a 2 M 2+- • • 
sera convergente. 
En effet, la série (1) étant convergente, on pourra déter 
miner n de telle sorte que 1 on ait, pour toute valeur de p, 
mod(Un4-1 + . • • + <C 
Pour démontrer que la série (2) est convergente, il suffit 
d’établir que la quantité 
peut elle-même être x’endue plus petite que toute quantité 
donnée. 
Or on a évidemment 
««-ni U/i+1 -t- • ■ • + a «-t-p u n+p 
■— 
+ («/ 
"t” ( a /- ■- 
■■{- j — u a+ 1,