DÉVELOPPEMENTS EN SÉRIE. 
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et, par suite, 
mod(a„ +1 u n+i -1- . . • + a n+p U/i+p ) 
< moda„ +p £ 
-j- mod(a, l+p _ 1 a «+/>) s 
H- 
+ mod(a, i+1 — a /t+2 )s. 
On a d’ailleurs 
*n+p — a i — ( a i a î) ( a 2 a a) • • • *«+/))? 
d’où 
moda„ +/ ,^moda 1 + mod (a,— a 2 ) mod(a w+/J _ 1 — a rt+p ) < v. 
D’autre part, 
mod(a /i+1 a «+2 ) “i - • • * mod {^-n+p—i a n+p) < C s j 
donc 
mod (3C/i+i Mn-+-l ~f" • • • “l— *«+p W/i+p ) 2S£, 
quantité qui peut être rendue aussi petite que l’on voudra en 
choisissant e assez petit. 
Le cas le plus intéressant de ce théorème est celui où les 
coefficients a,, a 2 , ... sont réels et vont constamment en 
croissant ou en décroissant, mais en tendant vers une limite 
finie. 
Soit m cette limite ; il est clair que l’on aura 
s z=z mod 04 mod(aj — m). 
126. Remarque. — Si la série (x) est absolument conver 
gente, la condition imposée aux coefficients a par l’énoncé 
du théorème ne sera pas nécessaire. Pour que la série (2) soit 
convergente, et même absolument convergente, il suffira que 
les modules des coefficients a ne surpassent pas, au moins à 
partir d’un certain rang, une limite fixe M; car on aura évi 
demment, dans ce cas, en prenant n suffisamment grand, 
m od(a re+1 u n+l +ccn+p un-^-p) 
< M ( mod u, l+ i +... + mod u n + p ) < M e.