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PREMIÈRE PARTIE. — CHAPITRE III. 
127. Passons à la considération des séries 
S — -h M 2 Mj ~f- . . . , 
dont les termes sont des fonctions d’une même variable z. 
Une telle série sera convergente pour les valeurs de s com 
prises dans un certain intervalle, si pour chacune de ces va 
leurs et pour chaque valeur de la quantité infiniment petite s 
on peut assigner une valeur de n telle que l’on ait pour toute 
valeur de p 
(3) mod(« s+1 + ...+ B B+? )<B, 
e étant aussi petit que l’on voudra. 
Le nombre n des termes qu’il est nécessaire de prendre 
dans la série pour arriver à ce résultat sera en général une 
fonction de z et de e. Néanmoins on pourra très habituelle 
ment déterminer un nombre n, fonction de e seulement, et 
tel que la condition (3) soit satisfaite pour toute- valeur de z 
comprise dans l’intervalle considéré. On dira, dans ce cas, 
que la série s est uniformément convergente dans cet inter 
valle. 
Comme exemple de série non uniformément convergente, 
nous citerons la progression géométrique 
Z -+- — Z ) -(- . . . -\- Z ( I — Z ) n -f- . . . 
dans l’intervalle de o à 1. 
Pour z=o, tous les termes s’annulent. Le nombre des 
termes à prendre pour que l’erreur ne surpasse pas e sera donc 
égal à zéro. 
Soit, au contraire, z différent de o. L’ensemble des termes 
qui suivent le n l ' me a pour somme 
¿(i — 
ï — (ï —ä) 
= (1 — z) n+ - 1 . 
Pour qu’il soit << e, il faudra que l’on ait 
< h 
(1 — z) n+1