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sera donc 
es termes 
log(i — z) 
Cette quantité reste finie pour toutes les valeurs de 5 que 
nous considérons. Toutefois elle croît au delà de toute limite 
si 5 se rapproche suffisamment de zéro. 
128. L’importance de la notion de la convergence uniforme 
résulte du théorème suivant, que nous démontrerons dans 
le Calcul intégral. 
Si la série s est convergente dans un certain intervalle 
et si la série 
S U j —|— u 2 U,j + . . . 
des dérivées de ses différents termes est elle-même unifor 
mément convergente dans ce même intervalle, s sera, dans 
cet intervalle, une fonction continue de z, et sa dérivée 
sera s'. 
129. Considérons, en particulier, une série 
s cîq ~i~ z> —1 - • . • et u *2»^ ~v~ • • • 
procédant suivant les puissances entières et positives de la 
variable 5. On pourra donner à z une valeur telle que les mo 
dules M 0 , M,,..., M w , ... des termes de la série ne surpassent 
pas toute limite (la valeur z = o satisfait toujours à cette con 
dition ). 
Parmi les valeurs de z qui jouissent de cette propriété, soit 
s celle qui a le plus grand module, et soient R ce module, 
P limite supérieure des modules M 0 , M l5 ..., M /2 , ... pour 
z—T. 
Ihéorèmk. — La série s est absolument et uniformément 
convergente pour les valeurs réelles ou imaginaires de z 
dont le module ne surpasse pas p, p désignant une quan 
tité quelconque inférieure àR,