DÉVELOPPEMENTS EN SÉRIE. 
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et son terme général aura pour module 
La série M, +. . . + M„+ . . . sera convergente, car ses 
termes sont moindres que ceux de la série 
¡X 2 [X P 
R R K 
où le rapport n f ~- 1 d’un terme au précédent tend pour n 
infini vers la limite jy plus petite que l’unité. 
L’uniformité de la convergence résulte immédiatement, 
comme tout à l’heure, de ce que, pour rendre 
mod [(ft + i)a (i 3 re + . . . 4- {n -+- p)a, l+p z n+p 1 ] 
inférieure à s, il suffit de faire en sorte que la somme des 
termes correspondants de la série a- soit << s, condition indé 
pendante de z. 
4° Le théorème se démontrerait d’une manière analogue 
pour chacune des autres séries s' ; , .... 
130. De ce théorème, combiné avec celui énoncé au n° L28, 
on déduit immédiatement le suivant : 
Théorème. — La série s est une fonction continue de z 
ayant pour dérivée la série s' pour toutes les valeurs de z 
dont le module est inférieur à o. 
Cette proposition peut d’ailleurs se démontrer directe 
ment. 
Posons, en effet, s=f\z). Donnons à z un accroissement 
infiniment petit h, réel ou imaginaire ; on aura