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d’où 
et enfin 
PREMIÈRE PARTIE. — CHAPITRE III. 
f{ z + h) —f{z) 
h 
f'[z) — lim 
fi 
-/(*) 
Les transformations successives que nous avons fait subir 
à l’expression f(z + h) pour arriver à ce résultat ne sont évi 
demment licites que si la série 
CCq —Z —di il —f— Cl2 Z 2 —f- 2 Cl^i Z 11 —H Cl% ll~ “4“ * . * 
est absolument convergente. Mais cette condition sera satis 
faite dès que h sera devenu assez petit pour que l’on ait 
mod,s + mod h < modp. 
En effet, la série des modules a pour expression 
modfl 0 + moda^ + mod a y h + moda 2 ^ 2 H- . . . 
= moda 0 -4- moda 1 {modz -4- mod/t) 
-h moda 2 (modz -t- mod A) 2 +. . . 
«< mod a 0 + modaj p + moda 2 p 2 -+-. .., 
et cette dernière expression est convergente d’après le théo 
rème du n° 129. 
131. Remarque. — La quantité p peut être choisie aussi 
voisine de R qu’on le voudra. Donc s sera continue et aura 
pour dérivée s' pour toute valeur de z dont l’affixe est con 
tenu dans Vintérieur du cercle de rayon R. Si l’affixe est en 
dehors de ce cercle, les modules des termes de la série 
grandissant indéfiniment, par définition, la série est diver 
gente et ne représente plus rien. 
Enfin, si l’affîxe est sur le cercle, nous ne sommes plus 
en mesure de rien affirmer. 
Ce cercle se nomme cercle de convergence. Son ravon 
peut être infini, par exemple pour la série 
1.2 +