DÉVELOPPEMENTS EN SÉRIE. 
12 J 
137. Gomme application, considérons l’expression 
n(n, z) — 
i.2.. ,(n — i) 
z ( Z + I ). . . ( z -+- n ■— I ) 
Soit F(,s) la limite vers laquelle elle tend pour n= ao . 
On aura évidemment F(,z)=co si z est un entier négatif, 
car, à partir de la valeur n — — :-f i, toutes les fonctions 
fl {n, z) auront un facteur nul au dénominateur. 
Pour toute autre valeur de z, F(.s) aura au contraire une 
valeur finie et déterminée. En effet, on peut évidemment 
écrire 
T{z) 
= n (2,Z) 
II(3, z) n(« + i,s) 
Ü(2 ,z) il{n,z) 
• Ì 
et il ne reste qu’à prouver la convergence de ce produit infini. 
Or on a 
n(« + i,:) n {n -f-i) z 
Ii(n, z) n-h z n z 
— i + 
n- 
A n tendant, pour n— oo , vers la limite fixe — • Le pro 
duit est donc absolument convergent. 
VI. — Fonctions exponentielles et circulaires. 
138. Pour donner à la théorie des équations algébriques 
la simplicité et la généralité qu’elle possède, il a été néces 
saire de considérer, conjointement avec leurs racines réelles, 
les racines imaginaires qu’elles peuvent avoir. On se trouve 
donc naturellement conduit, dans l’étude des fonctions, à 
tenir compte des valeurs imaginaires qu’elles sont suscep 
tibles de prendre pour certaines valeurs de la variable indé 
pendante. 
Mais lorsque deux quantités variables sont liées par une 
relation, on peut choisir arbitrairement celle des deux que