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PREMIÈRE PARTIE. 
CHAPITRE III. 
Enfin les formules 
sin (a + b) = sin a cos b -+- cos a sin b, 
cos {a h- b) — cos a cos b — sina sin b 
peuvent se vérifier immédiatement en remplaçant les sinus et 
cosinus par leurs valeurs en exponentielles et tenant compte 
de la relation (8). 
Nous signalerons encore la formule suivante : 
(9) e a+bi— e a e bi— e «( C os6 + i'slnè), 
cpii permet de calculer aisément la valeur de la fonction expo 
nentielle pour les valeurs imaginaires de la variable. 
141. On sait que log£ est la fonction inverse de e z . Eten 
dant cette définition aux valeurs imaginaires de la variable, 
cherchons à déterminer 
Soit 
log [ p (COS cp H- i sin cp)]. 
log[p(costp sin cp)] — X + iy. 
On en déduira 
pfcostp H- i sin cp) = -ir — e x ( cos y -h i sinj), 
et, par suite, 
(10) 
p cos© ~ e x cos y, 
p sincp — e x siny. 
Si p est nul ou infini, ces équations sont manifestement in 
compatibles, car e x est fini et différent de zéro, quel que soit 
x\ et, d’autre part, sin y et cosj-' sont finis et ne peuvent 
s’annuler en même temps. 
Supposons au contraire p fini et différent de ,séro. Ajou 
tons les carrés des équations (10); il viendra 
d’où 
p — e x , x — Logp, 
Logp désignant un logarithme arithmétique, puisque x est 
supposé réel.