DÉVELOPPEMENTS EN SÉRIE. 
ërentia- 
DÉVELOPPEMENTS EN SÉRIE. i3j 
P 
Donc z r] n'aura que q valeurs distinctes, qui s’obtiendront 
en posant k = o, i, . . ., q — i. 
Si m est incommensurable ou imaginaire, on voit aisément, 
au contraire, qu’à chaque valeur de k correspond une valeur 
distincte pour z m . Ces valeurs seront donc en nombre infini. 
l positif 
144. Prenons la dérivée de l’équation (i3) ; il viendra 
{z m )'— — é mlo s z = me (m ~^ l0 s z =.: mz m ~K 
t étique, 
la fonc- 
de z et 
Soit enfin m — m'-f- m"; on aura 
rrin' r-m" gin' [Log p+i (o+2Î 'it)l qTii"[Log p+i (®+2Â-’'t:)] 
— g(m'+m''j[Log a+i (¡¡+2kT.)]+2T.i (k'/n'+k"/n"—km) 
suscep- 
biguïté. 
— rr7n'+m"(k’ m'+k" m"—km) 
C’est la généralisation de la formule 
z ,n ' z m "— z m ' Jr,n " 
Iront en 
relative aux radicaux arithmétiques. Elle n’en diffère que par 
la présence du facteur e 2 ' K kk , m'+k"m"-km), laquelle ne peut être 
évitée, vu l’ambiguïté des fonctions z m \ z m ", z m ' +m ". 
teur 
14o. Les transcendantes élémentaires e 3 , sins, cos£, log,s, 
z m sont définies maintenant pour toute valeur de x, et nous 
lier, car 
i réduira 
avons établi que leurs propriétés fondamentales persistent 
après cette généralisation (140, 142 et 144). 
En particulier, les fonctions e z , sin^, cos z, étant définies 
-, deux 
c l 
un mul- 
par des séries toujours convergentes, ont l’avantage de n’avoir 
pour chaque valeur de la variable qu’une seule valeur, parfai 
tement déterminée et toujours finie, tant que la variable reste 
en effet, 
l’un de 
elle-même finie. Nous allons donc les discuter avec un peu 
plus de détail. 
3S tri go- 
146. On a 
e z+T.i —— gz ^ cos tc —i sin 7T ) — — e z , 
gZ+l-m — e :(coS2T: + i sin 2 Ti) — g 3 .