2 
INTRODUCTION. 
Cette méthode, dont Euclide et Archimède avaient donné 
autrefois de remarquables exemples, était tombée en oubli 
pendant plusieurs siècles, lorsque la mémorable découverte 
de Descartes sur l’application de l’Algèbre à la théorie des 
courbes obligea les géomètres à y revenir, pour résoudre les 
deux questions qui s’imposaient à eux, le problème des tan 
gentes et celui des quadratures. 
ni. L’ancienne définition de la tangente, une droite qui 
n’a qu’un point commun avec la courbe, cessait en effet 
d’être applicable en dehors des coniques. On dut en imaginer 
une nouvelle, ainsi conçue : 
La tangente est la limite vers laquelle tend une sécante 
qui tourne autour d’un de ses points d’intersection avec 
la courbe, lorsque son second point d’intersection se rap 
proche indéfiniment du premier. 
iv. Cherchons, d’après cette définition, la tangente à la 
parabole y = x' 1 au point dont les coordonnées sont x, y. 
Soient x + h, y + k les coordonnées d’un second point de 
la courbe. La sécante qui les joint aura pour équation 
On a d’ailleurs 
y — x\ j-h k = (x + h) 2 , 
d’où 
k = o.hx -+- h 2 , 7-=2#-4- h, 
h 
et par suite 
Y — y — (2X -h h) (X — x). 
Si le second point se rapproche du premier, h tend vers 
zéro; on aura donc, pour l’équation de la tangente, 
Y —y — 2x(X — x). 
v. Pour donner une idée du problème des quadratures, 
nous allons chercher l’aire comprise entre la parabole, l’axe