32G PREMIÈRE PARTIE, — CHAPITRE V. '* 
et qui se réduise à v 0 pour u = u 0 , et v 0 étant des con 
stantes choisies à volonté, 
La courbe définie par l’équation v=f(u), jointe aux 
équations de la surface, satisfera en chacun de ses points à 
l’équation différentielle précédente ; elle sera donc tangente 
en chaque point aux asymptotes de l’indicatrice. 
Les courbes ainsi définies se nomment lignes asympto 
tiques. Par chaque point de la surface e 0 ), il en passe 
évidemment deux, réelles ou imaginaires, correspondant aux 
deux racines de l’équation en ^• 
Si x, y sont pris pour variables indépendantes, on aura 
d 2 x — o, cV- y = o, 
et l’équation différentielle des lignes asymptotiques se ré 
duira à 
o = d 2 z ~ rdx 2 H- sdxdy -+- tdy 2 . 
311. Appliquons les théories qui précèdent a quelques 
exemples. 
Surfaces de révolution. —La tangente au parallèle étant 
évidemment perpendiculaire au plan méridien, la normale 
sera située dans le méridien. Les normales en deux points 
consécutifs se couperont donc si ces deux points sont dans le 
même méridien. Elles se couperont également si le déplace 
ment a lieu le long d’un parallèle, car il est évident que les 
normales à un même parallèle forment un cône de révolution 
autour de l’axe. 
Les lignes de courbure seront donc les méridiens et les pa 
rallèles. 
342. Surfaces développables. — Elles sont, par défini 
tion, l’enveloppe d’un plan mobile, dont l’équation contient 
un paramètre variable a. Soit 
( 15 ) ^=/( a )^ + ?( a )/+ t K a ) 
l’équation de ce plan. Celle de la surface s’obtiendra en