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PREMIÈRE PARTIE. — CHAPITRE Y. 
34o. Pour déterminer cette courbure, supposons d’abord 
que l’élément de surface soit limité par les deux lignes de 
courbure MN, MP, qui se croisent au point et par 
Fig. a',. 
deux lignes de courbure infiniment voisines PQ, NQ. Ces 
lignes se croisant à angle droit, l’élément MNPQ pourra 
être assimilé à un petit rectangle plan, et son aire t sera sen 
siblement repi’ésentée par le produit MN.MP. 
D’autre part, la normale en N sera contenue (aux infini 
ment petits près du second ordre) dans le plan mené par la 
normale en M et la tangente àMN, car elle passe par le centre 
de courbure et par le point N, qui tous deux sont dans ce 
plan. De même la normale en P sera dans le plan mené par 
la normale en M et la tangente à MP. Ces deux plans sont 
évidemment rectangulaires. 
Gela posé, si, par le point O, centre de la sphère, on mène 
des droites Om, On, Op parallèles à ces normales, les plans 
Omn, Omp seront rectangulaires. L’élément de surface 
sphérique a-'aura donc ses côtés rectangulaires et aura pour 
aire le produit de ces côtés, qui sont évidemment les angles 
a et a., formés par la normale en M avec les normales en N 
et P. 
Mais on a évidemment 
a-A.MN, oq = Aq MP, 
A' et k, représentant les courbures des lignes MN et MP, 
lesquelles sont évidemment égales aux courbures principales.