APPLICATIONS GÉOMÉTRIQUES DE LA SÉRIE DE TAYLOR. 331 
On aura donc ce théorème : 
La courbure dune surface en un point est égale au 
produit des courbures des sections principales. 
Pour établir complètement cette proposition, il faut pour 
tant démontrer que le résultat resterait le même si l’on con 
sidérait un élément <r de forme quelconque, au lieu de l’élé 
ment particulier que nous avons choisi. 
Pour le faire voir, décomposons cet élément <r (Jig. a5), 
par un réseau de lignes de courbure, en une infinité d’élé 
ments plus petits. Ceux de ces éléments qui forment le 
pourtour de la figure pourront être négligés, car ils ne repré 
sentent qu’une partie infiniment petite de l’aire cr, et leur 
courbure totale est également infiniment petite par rapport 
à a'. Chacun des autres éléments étant limité à des lignes de 
courbure, on pourra lui appliquer le théorème. D’ailleurs, 
les courbures k et Aq, relatives à chacun de ces éléments, 
peuvent être remplacées par les valeurs des mêmes courbures 
pour le point M, qui en diffèrent infiniment peu. 
IX. — Coordonnées curvilignes. 
346. On définit le plus souvent la position d’un point dans 
l’espace par ses trois coordonnées x,y, £.