APPLICATIONS GÉOMÉTRIQUES DE LA SÉRIE DE TAYLOR. 343 
deux fractions analogues qu’on obtiendrait en permutant cir- 
culairement ) M , X 2 , X 3 , on aura 
(7 ) ds 2 = Mj d\\ + 
307, L’expression de l’élément de volume compris entre 
les surfaces X,, X, -j- c/X,, X 2 , X 2 + <7X 2 , X 3 , X 3 c/X 3 peut s’é 
crire immédiatement. En effet, cet élément est sensiblement 
un parallélépipède rectangle, ayant pour côtés les distances 
respectives du point (X t , X 2 , X 3 ) aux points (X ( + ¿/X,, X 2 , X 3 ), 
(X ( , X 2 -f- dXo, X 3 ), (X f , X 2 , X 3 -j- dl 3 ). La première de ces dis 
tances se déduit de la formule (7) en posant 
d). 2 = d\ 3 — o 
et sera égale à y/M 4 <r/X 1 ; la seconde sera y/M 2 c/X 2 , la troi 
sième y/M 3 dX 3 . Leur produit 
y/ M t M 2 M 3 d'k l dX î dX i 
sera le volume de l’élément. 
308. Théorème de Dupin. —Si trois systèmes de sur 
faces 
F{x,y, z) — const., ^>(x,y, z) — const., W{x,y, z) = const. 
forment un système orthogonal, elles se coupent mutuel 
lement suivant leurs lignes de courbure. 
Soient F(x,y, z) — c = 0, <\>[x,y, 3) — c, — o deux sur 
faces quelconques prises dans les deux premiers systèmes. 
Prenons pour origine des coordonnées un point quelconque 
de leur intersection; pour plans coordonnés les plans tan 
gents à ces surfaces et à la surface W(x,y, z)—c 2 = o du 
troisième système qui les croise en ce point. 
Le plan des xy étant tangent à la surface F — c, on aura, 
pour x — o, y — o, z — o, 
dF dF 
dx — °’ dy ~ °’